【文章內(nèi)容簡介】 知節(jié)點后，未知節(jié)點會以 1P 的概率轉(zhuǎn)發(fā)此條消息，轉(zhuǎn)化為傳播節(jié)點，以 11P 的概率轉(zhuǎn)化為只讀節(jié)點。 建立模型 節(jié)點 j 在 t 時刻處于未知狀態(tài)， jwwP 表示節(jié)點 j 在 ? ?ttt ??, 時段內(nèi)處于未知狀態(tài)的概率， jwcP 表示節(jié)點 j 從未知狀態(tài)轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)發(fā)狀態(tài)的概率， jwPg 表示節(jié)點 j 從未知狀態(tài)轉(zhuǎn)移到只讀狀態(tài)的概率，且 jg1 wjwc PP ?? ，其中 h1j )tp(1（ ??wwP （ 1） ??thh? 表示在 t時刻節(jié)點 j的鄰接節(jié)點中轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點數(shù)量 。 節(jié)點 j含有 m 條邊， h是具有如下二項式分布的隨機變量： hmh tmLtmLhmth ???????????? )),(1(),(),( （ 2） ),( tmL 表示在 t時刻從具有 m 條邊的未知節(jié)點連接到一個轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點的概率， ),39。()|39。()|()|39。(),( c39。m39。39。m tmpmmpwcpmmptmL mm ?? ?? (3) m mPmmP )(|39。m ???）（ )(mP ? 是度為 m? 的節(jié)點的概率分布函數(shù)， m 為樣本網(wǎng)絡(luò)空間的節(jié)點平均度。）（ mP |39。m 為度相關(guān)函數(shù)，表示度為 m 的節(jié)點 鄰接 度為 39。m 的節(jié)點 的 條件概率 。 )|( 39。 mm wcp 表示一個 度為 39。m 的節(jié)點 鄰接 到一個度為 m 的未知節(jié)點的條件下，轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點的概率， ),39。( tmpc 表示在 t 時刻度為 39。m 的轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點的 概率 密度。 度為 m 的 未知 節(jié)點在 ? ?ttt ??, 時段內(nèi)處 保持 未知狀態(tài)的平均轉(zhuǎn)移概率 ),(pww tm? 。 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? mhmhmh tmtLptmLtmLtphmtm ),(1,1*,1),(p 110ww ??????????????? ??? ? 上面兩式聯(lián)合得到： mmc tmpmmpttm ?????? ?? ??39。1ww ),39。()|39。(p1),(p (4) 設(shè) ),( tmN 為在 t 時刻社交網(wǎng)絡(luò)中度為 m 的節(jié)點 密度 ， ),( tmw ， ),( tmc ， ),( tmG 分別為在 t 時刻網(wǎng)絡(luò)中度為 m 的未知節(jié)點、轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點和只讀節(jié)點的概率密度 。),(),(),( tmgtmctmw ??? 分別表示相應(yīng)密度的變化量。 8 ),(),(),(),( tmNtmGtmctmw ??? (5) ),(),(),( tmGtmctmw ????? 網(wǎng)絡(luò)中度為 m 的未知節(jié)點的數(shù)量在 ? ?ttt ??, 時 段內(nèi)的變化情況如下 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ????????? ?????? ??????????mmcwwmmptmptptmwtmwtmptmwtmwttw39。1 |39。,39。*11*,,1,),(,m (6) 以此類推，可 得到度為 m 的轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點和只讀節(jié)點的數(shù)量在 ? ?ttt ??, 時間段內(nèi)的變化情況，如下： ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ????????? ?????? ????????????mmcwwmmptmptptmWtmCtmptmWtmCttC39。111|39。,39。*11*,*p,1,*p),(,m (7) ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ?????? ????????????mmcwwmmptmptptmWtmGtmptmWtmGttG39。111|39。,39。*11*,*p1,1,*p1),(,m）（）（ （ 8） 由 （ 5），（ 6） 公式得到 ， ? ? ? ????????? ?????? ?????????? ? mmc mmptmptpttmN tmWttmN tmwttmW )|39。(),39。(*11),( ),(),( ,39。1（ 9） 當Δ t 趨近于 0時，將（ 9）號公式右側(cè)進行泰勒公式展開得到，未知節(jié)點的密度隨時間的變 化關(guān)系 )(tw ： ? ? ? ? )|39。(),39。(,39。w1w mmptmptmpmpt tmpmc????? ， （ 10） 以此類推，聯(lián)立（ 5），（ 7）公式在 Δ t趨近于 0 可以得到，轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點的密度隨時間變化的關(guān)系 )(ct ： ? ? ? ? )|39。(),39。(,39。w21c mmptmptmpmpt tmpmc???? ， （ 11) 聯(lián)立 （ 5），（ 8）公式在 Δ t趨近于 0可以得到，只讀節(jié)點的密度隨時間變化的關(guān)系 )(tg ： 9 ? ? ? ? )|39。(),39。(,1*,39。w11g mmptmptmppmpt tmpmc???? ）（ （ 12） 公式（ 10），（ 11），（ 12）分別描述了未知節(jié)點密度函數(shù) W(t)，轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點密度函數(shù) )(tC ，只讀節(jié)點密度函數(shù) )(tG 隨時間的變化情況。這三個公式稱為節(jié)點的傳播動力學演化方程組，用于刻畫整個網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的演化力度 模型的 求解 數(shù)據(jù) 支撐 根據(jù) twitter 社交網(wǎng)絡(luò)的連接關(guān)系數(shù)據(jù)，對第一列中的用戶賬號和其對應(yīng)的粉絲賬號導(dǎo)入 SPSS 中進行描述統(tǒng)計分析，得出其頻數(shù)數(shù)據(jù)。 并以此為基礎(chǔ)對頻數(shù)的分布進行統(tǒng)計處理。 spss 和 excel 對參考數(shù)據(jù)中的 835541 條記錄進行 分析，統(tǒng)計 出用戶 ID數(shù)和粉絲頻數(shù)分布圖等，部分數(shù)據(jù)截圖如下，部分數(shù)據(jù)見附件。 10 粉絲初始度分布散點圖0100200300400500600700800900 基于以上處理結(jié)果，對粉絲賬號的整體分布情況求均值，得每個節(jié)點的平均粉絲度3343 3 3 . 8 1 5 838 3 5 5 4 1 /2 5 0m ??? ，此為普通網(wǎng)絡(luò)用戶和兼職宣傳者的粉絲基數(shù)?？紤]到企業(yè)的選擇偏好（假設(shè) 7），企業(yè)偏向于雇傭粉絲數(shù)較多的專業(yè)推廣者，故專業(yè)推廣者主要分布于粉絲高頻段集中段。 從粉絲頻數(shù)分布圖可看出，頻數(shù)為 401~500 的高頻集中段用戶數(shù)量高達 1458，占整個用戶的 %。故可將受雇傭的專業(yè)推廣者化為歸于此部分，求的其平均粉絲度為 m= )(mP ? （度為 m? 的節(jié)點的分布函數(shù)）的函數(shù)數(shù)據(jù)，以二維數(shù)組（ m? ， )(mP ? ） 的形式為后面編程求解所用。 每個用戶名 ID 進行粉絲數(shù)分段點頻數(shù)分布統(tǒng)計如下表： 粉絲數(shù)頻數(shù)分布522241150 13014582020040060080010001200140016000~100 101~200 201~300 301~400 401~500 600以上 函數(shù) 模擬 每個節(jié)點首次受到消息后轉(zhuǎn)發(fā)概率 P1, 根據(jù)問題情景中海怪號（ Mar Mostro）帆船發(fā)布所引起的 萬互動信息中， 60%轉(zhuǎn)發(fā)了這張照片，此處 P1 近似取值 . )(mP ? （度為 m? 的節(jié)點的分布函數(shù)）的函數(shù)數(shù)據(jù)， 為上述 二維數(shù)組（ m? ， )(mP ? ） ， m 為數(shù)組中 m?的平均值。對于 m,若為專業(yè)推廣者則取上述高頻分布段均數(shù) 477，普通用戶和兼職宣傳員則取 全部分布段 334. 11 基于以上基礎(chǔ)數(shù)據(jù) 通過 C++編程， 求的 ),( tmL ， ),( tmpw ， ? ?t tmp?? ,w， ? ?t tmp?? ,c等中 間函數(shù)的對應(yīng)數(shù)據(jù)。 再將上述中間數(shù)據(jù)導(dǎo)入 MATLAB中， 迭代運行模擬出 C(t),W(t),g(t)隨時間的變化 情況，即 不同節(jié)點密度隨時間的變化關(guān)系：（ W(t)為未知節(jié)點的密度， C(t)為轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點的密度， g(t)為只讀節(jié)點的密度） 。（部分代碼見附件） 消息蔓延效應(yīng)預(yù)測模型 此部分模型以前述二次模型為基礎(chǔ)，以一次傳播過程的基數(shù)為依據(jù)，將一次傳播分 12 為原有粉絲引發(fā)的二次傳播和新增粉絲引發(fā)的二次傳播，并對他們分別代入消息蔓延效應(yīng)預(yù)測模型中求出消息收聽者的蔓延情況。由于消息轉(zhuǎn)發(fā)密度 C(t)和只讀密度 G(t)演化情況不同，消息蔓延效應(yīng)模型又分為消息轉(zhuǎn)發(fā)者預(yù)測模型和消息接受 者預(yù)測模型。 根據(jù) twitter 社交網(wǎng)站的用戶之間的鏈接關(guān)系數(shù)據(jù)，分析出普通網(wǎng)絡(luò)用戶的原始粉絲分布平均數(shù)為 M，設(shè) tS? 為第一天新增的 500 名粉絲，所引起的粉絲消息蔓延效應(yīng)（粉絲間消息不停轉(zhuǎn)發(fā)傳播）。在第 t 天時新增的消息傳播者； tK? 第 t 天由普通網(wǎng)絡(luò)用戶引起的新增只讀者 ，由 一個推廣者在第 t 天新增的 500 粉絲在未來的 100t+1 天中所帶來的新增轉(zhuǎn)發(fā)者（轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點數(shù)）為 tT? ； )(t tCC ? ，即第 t 天消息二次傳播模型的傳播節(jié)點密度函數(shù) ； )(tWWt ? ，即第 t 天消息二次傳播模型的未知節(jié)點密度函數(shù) ,且1001 ??t 。 專業(yè)推廣者第 1天新增的 500 粉絲后，在未來的 100t+1 天 里 由這些粉絲所引起的新增消息轉(zhuǎn)發(fā)者情況： 第 1 天： 20)(M*W*C*500 111 ??? S 第 2 天： 221212212 20)(M*WWC C *500 20)(M*W*C* ?????? SS 第 3 天： 33213213323 20)(M*WWWCC C *500 20)(M*W*C* ?????? SS 第 4 天： 44321432 14434 20)(M*WWWWCCCC *500 20)(M*W*C* ?????? SS ...... 第 t 天： 20)(M*...WWWWC ...CC C *500 20)(M*W*C* t t321t 321tt1t ?????? ?tSS 第 100 天： 10020)(M* W...WWWWC ...CCCC *500 20)(M*W*C* 100t321100t32 110010099100 ?????? SS 下圖為 計算轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點總數(shù) T的過程圖 ： 13 通過第 1天新增的 500 粉絲在未來的 100 天內(nèi)總的消息轉(zhuǎn)發(fā)者為： 1003211 ... SSSST ?????????? 相應(yīng)的，通過第 2 天新增的 500 粉絲在剩余的 100 天內(nèi)總的消息轉(zhuǎn)發(fā)者為： 20)(MWC )...( 11 100322 ? ???????? SSST 通過第 3天新增 的 500 粉絲在剩余的 100 天內(nèi)總的轉(zhuǎn)發(fā)者為： 22121 100433 2 0)(MWWC C ... ????????? SSST ? 通過第 t天新增的 500 粉絲在剩余的 100 天內(nèi)總的轉(zhuǎn)發(fā)者為： 1t1t211t21 1001 20)(M...WWW...CC C ... ????????? ? SSST ttt 顯然通過第 100 天新增的 500 粉絲在當天內(nèi)總的轉(zhuǎn)發(fā)者為： 20)(M*C*500 )20(......100199219921100100???????tMWWWCCCST 14 則這 100 天內(nèi)產(chǎn)生的總的轉(zhuǎn)發(fā)者為： 100321 ...... TTTTTT t ???????????? 到此 T 即為專業(yè)推廣者在 100 內(nèi)，每天新增的 500 名粉絲在所引起的消息轉(zhuǎn)發(fā)者規(guī)模。再以專業(yè)推廣者 m=477 的粉絲基數(shù)，替代 上述 過程中的 500， 求的新的 )1(477T? ，即為第 1 天收到消息的原始基礎(chǔ)粉絲所引發(fā)的消息蔓延效應(yīng)，持續(xù) 100 天后達到的 轉(zhuǎn)發(fā) 者規(guī)模。 將上述 轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點密度函數(shù) C t替換為只讀節(jié)點密度函數(shù) G t，可得 消