高考數(shù)學(xué)_壓軸題_放縮法技巧全總結(jié)(編輯修改稿)
2025-06-26 22:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 等式左=， 原結(jié)論成立. ,求證: 解析: 經(jīng)過倒序相乘,就可以得到 ,求證: 解析: 其中:,因為 所以 從而,所以. ,求證:. 解析: 因為當(dāng)時,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號. 所以 所以所以 ,求證:. 解析:. (x)=x2－(－1)k2lnx(k∈N*).k是奇數(shù), n∈N*時, 求證: [f’(x)]n－2n－1f’(xn)≥2n(2n－2). 解析: 由已知得， (1)當(dāng)n=1時，左式=右式=0.∴不等式成立. (2), 左式= 令 由倒序相加法得： ， 所以 所以綜上，當(dāng)k是奇數(shù)，時，命題成立 例41. （2007年東北三校）已知函數(shù) （1）求函數(shù)的最小值，并求最小值小于0時的取值范圍； （2）令求證： ★例42. (2008年江西高考試題)已知函數(shù),.對任意正數(shù),證明：． 解析:對任意給定的,由, 若令 ，則 ① ,而 ② ?。ㄒ唬⑾茸C；因為，， 又由 ，得 ． 所以 ．?。ǘ?、再證；由①、②式中關(guān)于的對稱性，不妨設(shè)．則 （?。?dāng)，則，所以，因為 ， ，此時． （ⅱ）、當(dāng)③，由①得 ,， 因為 所以 ④ 同理得⑤ ，于是 ⑥ 今證明 ⑦, 因為 ， 只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)③，此為顯然． 因此⑦得證．故由⑥得 ． 綜上所述，對任何正數(shù)，皆有． : 解析:一方面: (法二) 另一方面: 十、二項放縮 , 例44. 已知證明 解析: ， 即 ，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且 解析: 引入一個結(jié)論：若則（證略） 整理上式得（） 以代入（）式得 即單調(diào)遞增。 以代入（）式得 此式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有，又因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)有?！ ? 注：①上述不等式可加強為簡證如下： 利用二項展開式進行部分放縮： 只取前兩項有對通項作如下放縮： 故有?、谏鲜鰯?shù)列的極限存在，為無理數(shù)；同時是下述試題的背景：已知是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題） 簡析 對第（2）問：用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列遞減，且故即?！? 當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文[1]。 +b=1,a0,b0,求證： 解析: 因為a+b=1,a0,b0,可認(rèn)為成等差數(shù)列，設(shè)， 從而 ，求證. 解析: 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得 ，即，得證. :. 解析:參見上面的方法,希望讀者自己嘗試!) 例42.(2008年北京海淀5月練習(xí)) 已知函數(shù)，滿足：?、賹θ我?，都有； ?、趯θ我舛加??。↖）試證明：為上的單調(diào)增函數(shù)； （II）求； ?。↖II）令，試證明：. 解析:本題的亮點很多,是一道考查能力的好題. (1)運用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性: 因為,所以可以得到, 也就是,不妨設(shè),所以,可以得到,也就是說為上的單調(diào)增函數(shù). (2)此問的難度較大,要完全解決出來需要一定的能力! 首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足,嘗試探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論,一發(fā)現(xiàn)就有思路了! 由(1)可知,令,則可以得到 ,又,所以由不等式可以得到,又 ,所
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