高考數(shù)學(xué)_壓軸題_放縮法技巧全總結(jié)-文庫吧資料
2025-06-05 22:40本頁面
【正文】 Ⅰ）求f(0)的值；（Ⅱ）求證：f(x)≤4； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，試證明：. 解析: （Ⅰ）解：令，由①對于任意[0,1]，總有， ∴ 又由②得即 ∴ （Ⅱ）解：任取且設(shè) 則 因?yàn)?，所以，? ∴. ∴當(dāng)[0,1]時(shí)，. （Ⅲ）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：?。?） 當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立； ?。?） 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)， 由 得 即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立 由（1）、（2）可知，不等式對一切正整數(shù)都成立. 于是，當(dāng)時(shí)， 而[0,1]，單調(diào)遞增 ∴ 所以， 例50. 已知： 求證： 解析:構(gòu)造對偶式：令 則＝ 又 （ 十一、積分放縮 利用定積分的保號性比大小 保號性是指，定義在上的可積函數(shù)，則. ?。? 解析: ，∵， 時(shí)， ∴，. 利用定積分估計(jì)和式的上下界 定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個(gè)主要背景是計(jì)算曲邊梯形的面積，現(xiàn)在用它來估計(jì)小矩形的面積和. 例52. 求證：，. 解析: 考慮函數(shù)在區(qū)間上的定積分. 如圖，顯然① 對求和， . 例53. ：. 解析:考慮函數(shù)在區(qū)間上的定積分. ∵② ∴. 例54. （2003年全國高考江蘇卷）設(shè)，如圖，已知直線及曲線：，上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）.從上的點(diǎn)作直線平行于軸，交直線于點(diǎn)，再從點(diǎn)作直線平行于軸，.?。á瘢┰嚽笈c的關(guān)系，并求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明. 解析:（過程略）. 證明（II）：由知，∵，∴. ∵當(dāng)時(shí)， ∴. 證明（Ⅲ）：由知. ∴恰表示陰影部分面積， 顯然 ④ ∴. 奇巧積累: 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得“初等”證明，如： ?、?； ?、?； ③； ?、? 十二、部分放縮(尾式放縮) : 解析: 例56. 設(shè)求證： 解析: 又（只將其中一個(gè)變成，進(jìn)行部分放縮）， 于是 ，當(dāng)時(shí) 證明對所有 有； 解析: 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)成立即，則當(dāng)時(shí) ，成立?！ ? 注：①上述不等式可加強(qiáng)為簡證如下： 利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項(xiàng)有對通項(xiàng)作如下放縮： 故有?、谏鲜鰯?shù)列的極限存在，為無理數(shù)；同時(shí)是下述試題的背景：已知是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題） 簡析 對第（2）問：用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列遞減，且故即。f’(xn)≥2n(2n－2). 解析: 由已知得， (1)當(dāng)n=1時(shí)，左式=右式=0.∴不等式成立. (2), 左式= 令 由倒序相加法得： ， 所以 所以綜上，當(dāng)k是奇數(shù)，時(shí)，命題成立 例41. （2007年東北三校）已知函數(shù) （1）求函數(shù)的最小值，并求最小值小于0時(shí)的取值范圍； （2）令求證： ★例42. (2008年江西高考試題)已知函數(shù),.對任意正數(shù),證明：． 解析:對任意給定的,由, 若令 ，則 ① ,而 ② ?。ㄒ唬?、先證；因?yàn)?， 又? ，得 ． 所以 ?。。ǘ⒃僮C；由①、②式中關(guān)于的對稱性，不妨設(shè)．則 ?。á。?dāng)，則，所以，因?yàn)?， ，此時(shí)． （ⅱ）、當(dāng)③，由①得 ,， 因?yàn)? 所以 ④ 同理得⑤ ，于是 ⑥ 今證明 ⑦, 因?yàn)? ， 只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)③，此為顯然． 因此⑦得證．故由⑥得 ． 綜上所述，對任何正數(shù)，皆有． : 解析:一方面: (法二) 另一方面: 十、二項(xiàng)放縮
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