放縮法技巧全總結(jié)非常精辟,是尖子生解決高考數(shù)學(xué)最后一題之瓶頸之精華-文庫吧資料
2025-04-22 23:49本頁面
【正文】 ∴. ∴當(dāng)[0,1]時(shí)，. （Ⅲ）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1） 當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；（2） 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，由 得即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立由（1）、（2）可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立.于是，當(dāng)時(shí)，而[0,1]，單調(diào)遞增∴ 所以， 例50. 已知： 求證：解析:構(gòu)造對(duì)偶式：令 則 ＝又 （ 十一、積分放縮利用定積分的保號(hào)性比大小 保號(hào)性是指，定義在上的可積函數(shù)，則. ：. 解析: ，∵， 時(shí)，∴，. 利用定積分估計(jì)和式的上下界定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個(gè)主要背景是計(jì)算曲邊梯形的面積，現(xiàn)在用它來估計(jì)小矩形的面積和.例52. 求證：，. 解析: 考慮函數(shù)在區(qū)間上的定積分.如圖，顯然①對(duì)求和，. 例53. ：. 解析:考慮函數(shù)在區(qū)間上的定積分.∵②∴. 例54. （2003年全國高考江蘇卷）設(shè)，如圖，已知直線及曲線：，上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）.從上的點(diǎn)作直線平行于軸，交直線于點(diǎn)，再從點(diǎn)作直線平行于軸，.（Ⅰ）試求與的關(guān)系，并求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明.解析:（過程略）.證明（II）：由知，∵，∴.∵當(dāng)時(shí)，∴.證明（Ⅲ）：由知.∴恰表示陰影部分面積，顯然 ④∴.奇巧積累: 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得“初等”證明，如：①；②；③；④. 十二、部分放縮(尾式放縮) : 解析: 例56. 設(shè)求證： 解析: 又（只將其中一個(gè)變成，進(jìn)行部分放縮），于是 ，當(dāng)時(shí)證明對(duì)所有 有； 解析: 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)成立即，則當(dāng)時(shí)，成立。 注：①上述不等式可加強(qiáng)為簡(jiǎn)證如下： 利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項(xiàng)有對(duì)通項(xiàng)作如下放縮： 故有②上述數(shù)列的極限存在，為無理數(shù)；同時(shí)是下述試題的背景：已知是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題） 簡(jiǎn)析 對(duì)第（2）問：用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡(jiǎn)捷證法：數(shù)列遞減，且故即。f’(xn)≥2n(2n－2). 解析: 由已知得，(1)當(dāng)n=1時(shí)，左式=右式=0.∴不等式成立.(2), 左式= 令 由倒序相加法得： ， 所以 所以綜上，當(dāng)k是奇數(shù)，時(shí)，命題成立 例41. （2007年東北三校）已知函數(shù) （1）求函數(shù)的最小值，并求最小值小于0時(shí)的取值范圍； （2）令求證： ★例42. (2008年江西高考試題)已知函數(shù),.對(duì)任意正數(shù),證明：．解析:對(duì)任意給定的,由,若令 ，則 ① ,而 ②（一）、先證；因?yàn)?，又? ，得 ．所以．（二）、再證；由①、②式中關(guān)于的對(duì)稱性，不妨設(shè)．則（?。?dāng)，則，所以，因?yàn)?，此時(shí)． （ⅱ）、當(dāng)③，由①得 ,，因?yàn)? 所以 ④ 同理得⑤ ，于是 ⑥今證明 ⑦, 因?yàn)? ，只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)③，此為顯然． 因此⑦得證．故由⑥得 ．綜上所述，對(duì)任何正數(shù)，皆有． :解析:一方面:(法二) 另一方面:十、二項(xiàng)放縮 , 例44. 已知證明 解析: ，即 ，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且 解析: 引入一個(gè)結(jié)論：若則（證略）整理上式得（）以代入（）式得即單調(diào)遞增。 ，若，且在[0，1]上的最
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