【正文】 nnnnn ??????? ?10)11(2 所以nSS nnkn 121|| ???? 六 、 借助數(shù)列遞推關(guān)系 例 : 1222642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 解析 : 設(shè)nnan 2642 )12(531 ???? ?????? ??則 nnnnn anaananna ??????? ?? 2)1(2)1(2 12 11,從而 8 nnn naana 2)1(2 1 ??? ?,相加后就可以得到 122 1)22(132 1)1(22)1(2 1121 ???????????????? ? nnnnaanaaa nn? 所以 1222642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 例 28. 求證 : 1122642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 解析 : 設(shè)nna n 2642 )12(531 ???? ?????? ??則 111 )12(]1)1(2[)1(2 12 ??? ????????? nnnnn aanananna,從而 nnn anana )12(]1)1(2[ 11 ????? ?? ,相加后就可以得到 1122312 1)12(3)12( 1121 ?????????????? ? nnnaanaaa nn? 例 29. 若 1,1 11 ???? ? naaa nn ,求證 :)11(2111 21 ?????? naaa n? 解析 : nnnnnnn aaaaanaa ????????? ????? 21112 112 所以就有 2122111121121121 ????????????? ?? naaaaaaaaaaa nnnnn? 七 、 分類討論 例 }{na 的前 n 項和 nS 滿足 .1,)1(2 ???? naS nnn 證明：對任意的整數(shù) 4?m ，有 8711154 ???? maaa ? 解析 :容易得到 ? ?.)1(232 12 ?? ??? nnna, 由于通項中含有 n)1(? ，很難直接放縮，考慮分項討論： 當 3?n 且 n 為奇數(shù)時1222 2223)12 112 1(2311 2132 12121 ??? ???????? ??? ????? nnn nnnnnn aa )2 12 1(232 2223 1232 12 ??? ?? ?????? nnn nn（減項放縮），于是 ① 當 4?m 且 m 為偶數(shù)時 ????maaa11154 ? )11()11(11654 mm aaaaa ????? ?? .878321)2 11(412321)2 12121(2321 4243 ????????????? ?? mm? ② 當 4?m 且 m 為奇數(shù)時 ????maaa 111 54 ? 154 111 ????? mm aaa ?（添項放縮）由 ① 知 .871111 154 ????? ?mm aaaa ?由 ① ②得證。)(39。于是nnn nnaa 211lnln 21 ?????， .22112211)21(111lnln)211()ln(l n11211111 ????????????????????? ?? nnniniiini nnaaiiaa 即 .2lnln 21 eaaa nn ???? 注：題目所給條件 ln(1 )xx??（ 0x? ）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結(jié)論 )2)(1(2 ??? nnnn 來放縮： ??????? )1( 1))1( 11(1 nnanna nn ??????? )1)()1( 11(11 nn anna .)1( 1))1( 11ln()1ln()1ln( 1 ????????? nnnnaa nn 111)1l n()1l n()1( 1)]1l n()1l n([ 212112 ????????????? ?? ????? naaiiaa nniiini ， 即 .133ln1)1ln ( 2eeaa nn ??????? 例 15.(2020年廈門市質(zhì)檢 ) 已知函數(shù) )(xf 是在 ),0( ?? 上處處可導的函數(shù) ,若 )()(39。 ?xf 有 21 ??x ,令 0)(39。 (2)求證 : 3511 2 ???nk k. 解 析 :(1)因為12 112 1)12)(12( 214 22 ???????? nnnnn,所以12 212 1114 21 2 ???????? n nnknk (2)因為?????? ???????? 12 112 1214 44111 222 nnnnn,所以3532112 112 151312111 2 ????????? ?????????? nnknk ? 奇巧積累 :(1) ?????? ??????? 12 112 1214 44 41 222 nnnnn (2))1( 1)1( 1)1()1( 21 21 1 ???????? nnnnnnnCC nn (3) )2(111)1( 1!11)!(! !11 ????????????? rrrrrrnrnr nnCT rrrnr (4)25)1( 123 112 111)11( ??????????? nnn n ? (5)nnnn 2112 1)12(2 1 ???? (6) nnn ???? 221 (7) )1(21)1(2 ?????? nnnnn (8) nnn nnnn 2)32( 12)12( 12132 112 2 1 ????????????? ??? ? (9) ?????? ?????????????? ?????? knnkknnnkknknk 11111)1( 1,11111)1( 1 (10) !)1( 1!1!)1( ???? nnn n (11)212121212 22)1212(21???????????? nnnnnnn (11) )2(12 112 1)12)(12( 2)22)(12( 2)12)(12( 2)12( 2 1112 ??????????????? ??? nnnnn nnn nnn nn n (12) 11 1)1( 1)1( 1)1)(1( 111 23 ???????????? ????????? nnnnnnnnnnnn 11112 111111 ?????????????? ???? nnn nnnn (13) 3212 132122)12(332)13(222 1 nnnnnnnnn ???????????????? (14) !)2( 1!)1( 1)!2()!1(! 2 ???????? ? kkkkk k (15) )2(1)1( 1 ????? nnnnn (15) 111)11)((11 2222 2222 ???? ?????? ??? ??? ji jijiji jiji ji 例 2.(1)求證 : )2()12(2 167)12( 151311 222 ????????? nnn? (2)求證 : nn 41214 1361161412 ?????? ? (3)求證 : 1122642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 2 (4) 求證： )112(2131211)11(2 ?????????? nnn ? 解析 :(1)因為?????? ???????? 12 112 121)12)(12( 1)12( 1 2 nnnnn,所以 )12 131(211)12 131(211)12( 11 2 ??????????? nnini (2) )111(41)1211(414 136116141 222 nnn ??????????? ?? (3)先運用分式放縮法證明出12 12642 )12(531 ?????? ????? nnn??,再結(jié)合 nnn ???? 221進行 裂項 ,最后就可以得到答案 (4)首先nnnnn ?????? 12)1(21,所以容易經(jīng)過裂項得到 nn 131211)11(2 ??????? ? 再證212121212 22)1212(21???????????? nnnnnnn而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以)112(2131211 ??????? nn? 例 :35191411)12)(1( 6 2 ???????? nnn n ? 解析 :一方面 :因為?????? ???????? 12 112 1214 44111 222 nnnnn,所以 3532112 112 151312111 2 ????????? ?????????? nnknk ? 另一方面 :1111)1( 143 132 11191411 2 ????????????????? n nnnnn ?? 當 3?n 時 ,)12)(1( 61 ???? nn nn n,當 1?n 時 ,2191411)12)(1( 6 nnn n ??????? ?, 當 2?n 時 ,2191411)12)(1( 6 nnn n ??????? ?,所以綜上有 35191411)12)(1( 6 2 ???????? nnn n ? 例 4.(2020 年全國一卷 ) 設(shè)函數(shù) ( ) lnf x x x x?? .數(shù)列 ??na 滿足 101a??. 1 ()nna f a? ? .設(shè) 1( 1)ba? ， ，整數(shù)11lnabk ?≥.證明 : 1kab?? . 解析 :由數(shù)學歸納法可以證明 ??na 是遞增數(shù)列 ,故存在正整數(shù) km? ,使 bam? ,則 baa kk ???1 ,否則若 )( kmbam ?? ,則由 10 1 ???? baa m 知 0lnlnln 11 ??? baaaaa mmm , ??? ????km mmkkkk aaaaaaa 111 lnln,因為 )ln(ln11 bakaakm mm ???, 于是 bababakaa k ??????? )(|ln| 11111 例 mmmmm nSxNmn ???????? ? ?321,1, ,求證 : 1)1()1( 11 ????? ?? mnm nSmn . 解析 :首先可以證明 : nxx n ??? 1)1( ?? ???????? ?????????????nk mmmmmmmm kknnnnn 1 11111111 ])1([01)2()1()1( ?所以要證 1)1()1( 11 ????? ?? mnm nSmn 只要證 : 3 ??? ? ??????????? ?? ??????????????????? nk mmmmmmmmmnk mnk mm kknnnnnkmkk 1 111111111111 11 ])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ ? 故只要證 ???? ???? ?? ???????nk mmnk mnk mm kkkmkk 1 1111 11 ])1[()1(])1([,即等價于 mmmmm kkkmkk ??????? ??? 111 )1()1()1( ,即等價于 11 )11(11,)11(11 ?? ???????? mm kkmkkm 而正是成立的 ,所以原命題成立 . 例 nnna 24 ?? ,nnn aaaT ???? ?212 ,求證 : 23321 ?