【正文】 faaafxfaaxfaxxfaxaaaaaxfaaxf1m i nm i n39。239。f’(xn)≥2n(2n－ 2). 解析 : 由已知得 )0(22)( ???? xxxxf， (1)當 n=1 時，左式 = 22(2 ) (2 ) 0xxxx? ? ? ?右式 =0.∴ 不等式成立 . (2) 2n? , 左式 = )22(2)22()(2)]([ 11nnnnnnn xxxxxfxf ????????? ?? ).11(221424221 ?????? ????? nnnnnnnnnnn xCxCxCxC ? 令1 2 2 4 2 14211n n n nn n n nnnS C x C x C Cxx? ? ? ???? ? ? ? ? 由倒序相加法得： )1()1()1(2221442221 ??????? ??????? nnnnnnnnnn xxCxxCxxCS ? )22(2)(2 121 ?????? ? nnnnn CCC ?， 所以 ).22( ?? nS 所以 .)22(2)(2)]([ 1 成立?????? ? nnnnn xfxf 綜上，當 k 是奇數(shù)， Nn ?? 時，命題成立 例 41. （ 2020 年東北三校 ） 已知函數(shù) )1()( ??? axaxf x （ 1）求函數(shù) )(xf 的最小值，并求最小值小于 0 時的 a 取值范圍； （ 2）令 )1()2()1()( 39。 更多關注 高中學習資料庫 求資料加微信： gzxxzlk 例 bxaxf 21 1)( ???，若54)1( ?f，且 )(xf 在 [0， 1]上的最小值為21， 求證： .212 1)()2()1( 1 ?????? ?nnnfff ? 解析 : )22 11()()1()0(22 1141 1141 4)( ??????????????? nffxxf xxxx ? .212 1)2 1211(41)22 11()22 11( 112 ??????????????? ?? nnn nn ?? 例 ba, 為正數(shù)，且 111 ??ba，試證：對每一個 ??Nn ， 12 22)( ?????? nnnnn baba . 解析 : 由 111 ??ba得 baab ?? ，又 42)11)(( ??????abbababa，故 4??? baab ，而nnnrrnrnnnnnn bCbaCbaCaCba ??????? ?? ??110)( ， 令 nnn babanf ???? )()( ，則 )(nf = 1111 ???? ???? nnnrrnrnnn abCbaCbaC ?? ，因為 innin CC ?? ，倒序相加得)(2 nf = )()()( 111111 baabCbabaCabbaC nnnnrnrrrnrnnnn ??????? ??????? ??， 而 121111 2422 ??????? ??????????? nnnnnnrnrrrnnn babaabbabaabba ??， 則 )(2 nf = ))(22())(( 11 rrnrnrnrrnrnrnnrnn babababaCCC ????? ???????? ?? ??? )22( n 12?n ，所以 )(nf ??? )22( n n2 ，即對每一個 ??Nn ， 12 22)( ?????? nnnnn baba . 例 ),1(2 2 1321 NnnnCCCC nnnnnn ???????? ?? 解析 : 不等式左 ????? nnnnn CCCC ?321 12 222112 ??????? nn ?n nn 12 2221 ??????? ?= 212?? n ， 原結論成立 . 例 xx eexf ???)( ,求證 : 21 )1()()3()2()1( nnenffff ?????? ?? 解析 : 11)1()1()()(2121122121221121 ???????????? ?? xxxxxxxxxxxxxx eeeeeeeeeeeexfxf 經過倒序相乘 ,就可以得到 21 )1()()3()2()1( nnenffff ?????? ?? 例 xxxf 1)( ??,求證 : nn nnffff )1(2)2()3()2()1( ?????? ? 解析 : 2)12(2)12( 11212)12()12 112)(1( ?????????????????????? knknkk knkn kknkknknkk 其中 : nk 2,3,2,1 ?? ,因為 nknkknknkknk 2)12(0)2)(1(2)1(2 ???????????? 所以 22)12 112)(1( ???????? nknknkk 從而 nnnffff 22 )22()]2()3()2()1([ ?????? ?,所以 nn nnffff )1(2)2()3()2()1( ?????? ?. 例 7?k ,求證 : 231121111 ????????? nknnnSn ?. 解析 : )111()3121()2111()111(2 nnknknnknnknSn ??????????????? ? 因為當 0,0 ?? yx 時 ,xyyxxyyx 211,2 ????,所以 4)11)(( ???yxyx,所以yxyx ??? 411,當且僅當 yx? 時取到等號 . 所以1)1(41432 421 4142 ?? ????????????????? nkn knnknnknnknnknS n ? 更多關注 高中學習資料庫 求資料加微信： gzxxzlk 所以231421 )1(211 )1(2 ????????? ?? kkknkkS n所以231121111 ????????? nknnnS n ? 例 ))(()( 21 xxxxaxf ??? ,求證 :16)1()0( 2aff ??. 解析 :16)]1()][1([)1()0( 222112 axxxxaff ?????. 例 f(x)=x2－ (－ 1)k 八 、 線性規(guī)劃型放縮 例 31. 設函數(shù)221() 2xfxx ?? ?.若對一切 xR? ， 3 ( ) 3af x b? ? ? ?，求 ab? 的最大值。 例 23.(2020 年泉州市高三質檢 ) 已知函數(shù) ),1()( 2 Rcbcbxxxf ????? ，若 )(xf 的定義域為 [－ 1， 0]，值域也為 [－ 1， 0].若數(shù)列 }{nb 滿足 )()(*3 Nnnnfbn ??，記數(shù)列 }{nb 的前 n 項和為 nT ，問是否存在正常數(shù) A，使得對于任意正整數(shù) n 都有 ATn? ？并證明你的結論。 (2)證明有 ??Nn0 ，使得對 0nn?? 都有nnnn bbbbbbbb 112312 ?? ???? ? 2020?n . 解析 :(1) 依題設有： ? ? ? ?10 , , , 2 , 0n n n n nA B b b bn?? ?????，由 1nOBn?得： 2*22112 , 1 1,n n nb b b n Nnn? ? ? ? ? ? ?,又直線 nnAB在 x 軸上的截距為 na 滿足 ? ? ? ?110 2 0 0n n na b bnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 12nn nba nb? ? 2 2 2 212 1 0 , 2n n n nn b n b b nb? ? ? ? ? ? ?2212 12 2 2 41212 nnnn n nnnnnb n bba b bn b n bn b n b?? ? ? ? ? ? ? ? ???22111 1 2 2 1na nn? ? ? ? ? ? ? 顯然，對于 1101nn???，有 *1 4,nna a n N?? ? ? (2)證明：設*11,nn nbc n Nb?? ? ?，則 更多關注 高中學習資料庫 求資料加微信： gzxxzlk ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?22222222222 2 22211 111111 111 1 111 1 1 111 112 1 2 1 1 1 2 121 1 2 12 1 2 1nn n nn nnn nn n nnn n nnn? ? ? ?????? ? ??????? ? ? ? ?????? ??? ? ?? ? ? ???? ? ????? ? ? ? ? ? ? 2 *12 1 2 2 1 0 , ,2nn n n n c n Nn? ? ? ? ? ? ? ? ?? 設 *12 ,nnS c c c n N? ? ? ? ?，則當 ? ?*2 2 1kn k N? ? ? ?時， 2 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 13 4 2 1 2 3 4 2 1 2 2 1 2n k k k kS ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 21231 1 1 12 2 22 2 2 2k k k? ?? ? ? ? ? ? ? ?。)(39。于是nnn nnaa 211lnln 21 ?????， .22112211)21(111lnln)211()ln(l n 11211111 ??????????????? ?????? ?? nnniniiini nnaaiiaa 即 .2lnln 21 eaaa nn ???? 注：題目所給條件 ln(1 )xx??（ 0x? ）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論)2)(1(2 ??? nnnn 來放縮： ??????? )1( 1))1( 11(1 nnanna nn ?????? )1)()1(1(11 nn anna .)1( 1))1( 11ln()1ln()1ln( 1 ????????? nnnnaa nn 111)1l n()1l n()1( 1)]1l n()1l n([ 212112 ????????????? ?? ????? naaiiaa nniiini ， 即 .133ln1)1ln ( 2eeaa nn ??????? 例 15.(2020 年廈 門市質檢 ) 已知函數(shù) )(xf 是在 ),0( ?? 上處處可導的函數(shù) ,若 )()(39。 ?xf 有 21 ??x ,令 0)(39。 (2)求證 : 3511 2 ???nk k. 解析 :(1)因為12 112 1)12)(12( 214 22 ???????? nnnnn,所以12 212 1114 21 2 ???????? n nnknk (2)因為?????? ???????? 12 112 1214 44111 222 nnnnn,所以3532112 112 151312111 2 ????????? ?????????? nnknk ? 奇巧積累 :(1) ?????? ??????? 12 112 1214 44 41 222 nnnnn (2))1( 1)1( 1)1()1( 21 21 1 ???????? nnnnnnnCC nn (3) )2(111)1( 1!11)!(! !11 ????????????? rrrrrrnrnr nnCT rrrnr (4)25)1( 123 112 111)11( ??????????? nnn n ? (5)nnnn 2112 1)12(2 1 ???? (6) nnn ???? 221 (7) )1(21)1(2 ?????? nnnnn (8) nnn nnnn 2)32( 12)12( 12132 112 2 1 ????????????? ??? ? (9) ?????? ?