【正文】 nnaa nn 111)1l n()1l n()1( 1)]1l n()1l n([ 212112 ????????????? ?? ????? naaiiaa nniiini ， 即 .133ln1)1ln ( 2eeaa nn ??????? nn na )11(?? ，求證：數(shù)列 }{na 單調(diào)遞增且 .4?na 解析 : 引入一個(gè)結(jié)論：若 0??ab 則 )()1(11 abbnab nnn ???? ?? （證略） 整理上式得 ].)1[(1 nbanba nn ???? （ ? ） 以 nbna 11,111 ????? 代入（ ? ）式得 ??? ?1)111( nn .)11( nn? 即 }{na 單調(diào)遞增。11ln,1lnln,0lnlnln1,0)(lnlnln1)lnl o g()(),lnl o g)lnl o g,()(,lnl o g,0)(lnl o g1,ln1,1ln,0)(,1ln)()1(?????????????????????????????????的取值范圍是則即若所以上遞增；上遞減，在（在所以有同理：又即：由 所以不等式成立。39。 nfnS n ??? eaaaaaxxxeaaeaaaaxfaaafxfaaxfaxxfaxaaaaaxfaaxf1m i nm i n39。239。f’(xn)≥2n(2n－ 2). 解析 : 由已知得 )0(22)( ???? xxxxf ， (1)當(dāng) n=1 時(shí)，左式 = 22(2 ) (2 ) 0xxxx? ? ? ?右式 =0.∴ 不等式成立 . (2) 2n? , 左式 = )22(2)22()(2)]([ 11 nnnnnnn xxxxxfxf ????????? ?? ).11(2 21424221 ?????? ????? nnnnnnnnnnn xCxCxCxC ? 令 1 2 2 4 2 14211n n n nn n n nnnS C x C x C Cxx? ? ? ???? ? ? ? ? 由倒序 相加法得： )1()1()1(2 221442221 ??????? ??????? nnnnnnnnnn xxCxxCxxCS ? )22(2)(2 121 ?????? ? nnnnn CCC ?， 所以 ).22( ?? nS 所以 .)22(2)(2)]([ 1 成立?????? ? nnnnn xfxf 綜上，當(dāng) k 是奇數(shù)， N?? 時(shí)，命題成立 例 41. （ 2020 年?yáng)|北三校） 已知函數(shù) )1()( ??? axaxf x （ 1）求函 數(shù) )(xf 的最小值，并求最小值小于 0 時(shí)的 a 取值范圍； （ 2）令 )1()2()1()( 39。 例 bxaxf 21 1)( ??? ，若 54)1(?f ，且 )(xf 在 [0， 1]上的最小值為 21 ，求證：.212 1)()2()1( 1 ?????? ?nnnfff ? 解析 : )22 11()()1()0(22 1141 1141 4)( ??????????????? nffxxf xxxx ? .212 1)2 1211(41)22 11()22 11( 112 ??????????????? ?? nnn nn ?? 例 34. 已知 ba, 為正 數(shù)，且 111 ??ba ， 試證： 對(duì)每一個(gè) ??Nn ，12 22)( ?????? nnnnn baba . 解析 : 由 111 ??ba 得 baab ?? ，又 42)11)(( ?????? abbababa ，故 4??? baab ，而nnnrrnrnnnnnn bCbaCbaCaCba ??????? ?? ??110)( ， 令 nnn babanf ???? )()( ，則 )(nf = 1111 ???? ???? nnnrrnrnnn abCbaCbaC ?? ，因?yàn)?innin CC ?? ，倒序相加得 )(2 nf = )()()( 111111 baabCbabaCabbaC nnnnrnrrrnrnnnn ??????? ??????? ??， 而 121111 2422 ??????? ??????????? nnnnnnrnrrrnnn babaabbabaabba ??， 則 )(2 nf = ))(22())(( 11 rrnrnrnrrnrnrnnrnn babababaCCC ????? ???????? ?? ??? )22( n 12?n ，所以)(nf ??? )22(n n2，即對(duì)每一個(gè) ??Nn ， 12 22)( ?????? nnnnn baba . 例 ),1(2 2 1321 NnnnCCCC nnnnnn ???????? ?? 解析 : 不等式左????? nnnnn CCCC ?321 12 222112 ??????? nn ?n nn 12 2221 ??????? ?= 212?? nn ， 原結(jié)論成立 . 例 xx eexf ???)( ,求證 : 21 )1()()3()2()1( nnenffff ?????? ?? 解析 : 11)1()1()()( 2121122121221121 ???????????? ?? xxxxxxxxxxxxxx eeeeeeeeeeeexfxf 經(jīng)過(guò)倒序相乘 ,就可 以得到 21 )1()()3()2()1( nnenffff ?????? ?? 例 xxxf 1)( ?? ,求證 : nn nnffff )1(2)2()3()2()1( ?????? ? 解析 : 2)12(2)12( 11212)12()12 112)(1( ?????????????????????? knknkk knkn kknkknknkk 其中 : nk 2,3,2,1 ?? ,因?yàn)?nknkknknkknk 2)12(0)2)(1(2)1(2 ???????????? 所以 22)12 112)(1( ???????? nknknkk 從而 nnnffff 22 )22()]2()3()2()1([ ?????? ?,所以 nn nnffff )1(2)()3()2()1( ?????? ?. 例 7?k ,求證 : 231121111 ????????? nknnnS n ?. 解析 : )111()3121()2111()111(2 nnknknnknnknS n ??????????????? ? 因?yàn)楫?dāng) 0,0 ?? yx 時(shí) , xyyxxyyx 211,2 ???? ,所以 4)11)(( ??? yxyx ,所以 yxyx ??? 411 ,當(dāng)且僅當(dāng) yx? 時(shí)取到等號(hào) . 所以 1)1(41432 421 4142 ?? ????????????????? nkn knnknnknnknnknS n ? 所以 231421 )1(211 )1(2 ????????? ?? kkknkkS n所以 231121111 ????????? nknnnS n ? 例 ))(()( 21 xxxxaxf ??? ,求證 : 16)1()0( 2aff ?? . 解析 : 16)]1()][1([)1()0( 222112 axxxxaff ????? . 例 f(x)=x2－ (－ 1)k 八 、 線性規(guī)劃型放縮 例 31. 設(shè)函數(shù) 221() 2xfxx ?? ? .若對(duì)一切 xR? ， 3 ( ) 3af x b? ? ? ?，求 ab? 的最大值。 例 23.(2020 年泉州市高三質(zhì)檢 ) 已知函數(shù) ),1()( 2 Rcbcbxxxf ????? ，若 )xf 的定義域?yàn)?[－ 1， 0]，值域也為 [－ 1， 0].若數(shù)列 }{nb 滿(mǎn)足 )()( *3 Nnnnfbn ?? ，記數(shù)列 }{nb 的前 n 項(xiàng)和為 nT ，問(wèn)是否存在正常數(shù) A，使得對(duì)于任意正整數(shù) n 都有 ATn? ？并證明你的結(jié)論。 (2)證明有 ??Nn0 ，使得對(duì) 0nn?? 都有 nnnn bbbbbbbb 112312 ?? ???? ? 2020. 解析 :(1) 依題設(shè)有： ? ? ? ?10 , , , 2 , 0n n n n nA B b b bn?? ????? ，由 1nOBn? 得： 2*22112 , 1 1,n n nb b b n Nnn? ? ? ? ? ? ?,又直線 nnAB在 x 軸上的截距為 na 滿(mǎn)足 ? ? ? ?110 2 0 0n n na b bnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 12nn nba nb? ? 2 2 2 212 1 0 , 2n n n nn b n b b nb? ? ? ? ? ? ?2212 12 2 2 41212 nnnn n nnnnnb n bba b bn b n bn b n b?? ? ? ? ? ? ? ? ???22111 1 2 2 1na nn? ? ? ? ? ? ? 顯然，對(duì)于 1101nn??? ，有 *1 4,nna a n N?? ? ? (2)證明：設(shè) *11,nn nbc n Nb?? ? ?，則 ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?22222222222 2 22211 111111 111 1 111 1 1 111 112 1 2 1 1 1 2 121 1 2 12 1 2 1nn n nn nnn n nnn n nnn? ? ? ?????? ? ??????? ? ? ? ?????? ??? ? ?? ? ? ???? ? ????? ? ? ? ? ? ? 2 *12 1 2 2 1 0 , ,2nn n n n c n Nn? ? ? ? ? ? ? ? ?? 設(shè) *12 ,nnS c c c n N? ? ? ? ?，則當(dāng) ? ?*2 2 1kn k N? ? ? ?時(shí)， 2 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 13 4 2 1 2 3 4 2 1 2 2 1 2n k k k kS ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 21231 1 1 12 2 22 2 2 2k k k? ?? ? ? ? ? ? ? ?。)(39。于是 nnn nnaa 211lnln 21 ????? ， .22112211)21(111lnln)211()ln(l n 11211111 ??????????????? ?????? ?? nnniniiini nnaaiiaa 即 .2lnln 21 eaaa nn ???? 注：題目所給條件 ln(1 )xx??（ 0x? ）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用 ；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論 )2)(1(2 ??? nnnn 來(lái)放縮： ??????? )1( 1))1( 11(1 nnanna nn ?????? )1)()1(1(11 nn anna .)1( 1))1( 11ln()1ln()1ln( 1 ????????? nnnnaa nn 111)1l n()1l n()1( 1)]1l n()1l n([ 212112 ????????????? ?? ????? naaiiaa nniiini ， 即 .133ln1)1ln ( 2eeaa nn ??????? 例 16.(2020 年 福 州 市 質(zhì) 檢 ) 已 知 函 數(shù) .ln)( xxxf ? 若).()(2ln)()(:,0,0 bfbafbaafba ??????? 證明 解析 :設(shè)函數(shù) ( ) ( ) ( ) , ( 0)g x f x f k x k? ? ? ? ( ) l n , ( ) l n ( ) l n( ) ,0 . ( ) l n 1 l n( ) 1 l n ,2( ) 0 , 1 0 .2f x x x g x x x k x k xxx k g x x k xkxx x k kg x x kk x k x? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???令 則 有 ∴ 函數(shù) kkxg ,2[)( 在 ）上單調(diào)遞增，在 ]2,0( k 上單調(diào)遞減 .∴ )(xg 的最小值為 )2(kg ，即總有 ).2()( kgxg ? 而 ,2ln)()2ln(l n2ln)2()2()2( kkfkk