【正文】 當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有 10多種 ,如使用上述例 5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造 “分房問(wèn)題 ”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見(jiàn)文 [1]。),2()22()1ln)(22()22(ln)22()22(ln)]()()([21)(ln)()1ln()1ln()1ln()()2(39。39。139。 解析 :由 22221 ( 2 ) ( 1)( ( ) )( (1) 1)2 2 ( 2 )xxf x f x? ? ?? ? ? ?知 1( ( ) )( (1) 1) 02f x f? ? ? 即 1 ( ) 12 fx? ? ? 由此 再由 ()fx的單調(diào) 性可以知道 ()fx的最小值為 12?，最大值為 1 因此 對(duì)一切 xR? ， 3 ( ) 3af x b? ? ? ?的充要條件是， 1332abab?? ?? ? ????? ? ? ?? 即 a ， b 滿足約束條件331 321 32abababab? ?????????? ? ????? ? ???， 由線性規(guī)劃得， ab? 的最大值為 5． 九 、 均值不等式放縮 例 .)1(3221 ??????? nnS n ?求證 .2 )1(2 )1( 2???? nSnn n 解析 : 此數(shù)列的通項(xiàng)為 .,2,1,)1( nkkka k ???? 212 1)1( ??????? kkkkkk?， )21(11 ?? ?? ???? nknnk kSk， 即 .2 )1(22 )1(2 )1( 2??????? nnnnSnn n 注： ① 應(yīng)注意把握放縮的 “度 ”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式2baab ??，若放成 1)1( ??? kkk 則得2 )1(2 )3)(1()1( 21 ??????? ?? nnnkS nkn，就放過(guò) “度 ”了！ ② 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里 n aan aaaaaa n nnn nn22111111 ????????? ???? 其中， 3,2?n 等的各式及其變式公式均可供選用。 所以，取 40090 22n ??，對(duì) 0nn??都有： 20202 14017111 012312 ????????????? ??????????? ?????????? ? ? nnnn SSbbbbbb ? 故有nnnn bbbbbbbb 112312 ?? ???? ? 2020?n 成立。 xfxfx ?? 在 0?x 上恒成立 . (I)求證：函數(shù) ),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù)； (II)當(dāng) )()()(:,0,0 212121 xxfxfxfxx ????? 證明時(shí) ； (III)已知不等式 01)1ln( ????? xxxx 且在 時(shí)恒成立， 求證： ).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? 解析 :(I) 0)()(39。 ?????? x xxxf,令 0)(39。 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk 2020 高考數(shù)學(xué) 備考之 放縮技巧 證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材。 ?xf 有 21 ??x ,令 0)(39。)(39。 例 23.(2020 年泉州市高三質(zhì)檢 ) 已知函數(shù) ),1()( 2 Rcbcbxxxf ????? ，若 )(xf 的定義域?yàn)?[－ 1， 0]，值域也為 [－ 1， 0].若數(shù)列 }{nb 滿足 )()(*3 Nnnnfbn ??，記數(shù)列 }{nb 的前 n 項(xiàng)和為 nT ，問(wèn)是否存在正常數(shù) A，使得對(duì)于任意正整數(shù) n 都有 ATn? ？并證明你的結(jié)論。 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk 例 bxaxf 21 1)( ???，若54)1( ?f，且 )(xf 在 [0， 1]上的最小值為21， 求證： .212 1)()2()1( 1 ?????? ?nnnfff ? 解析 : )22 11()()1()0(22 1141 1141 4)( ??????????????? nffxxf xxxx ? .212 1)2 1211(41)22 11()22 11( 112 ??????????????? ?? nnn nn ?? 例 ba, 為正數(shù)，且 111 ??ba，試證：對(duì)每一個(gè) ??Nn ， 12 22)( ?????? nnnnn baba . 解析 : 由 111 ??ba得 baab ?? ，又 42)11)(( ??????abbababa，故 4??? baab ，而nnnrrnrnnnnnn bCbaCbaCaCba ??????? ?? ??110)( ， 令 nnn babanf ???? )()( ，則 )(nf = 1111 ???? ???? nnnrrnrnnn abCbaCbaC ?? ，因?yàn)?innin CC ?? ，倒序相加得)(2 nf = )()()( 111111 baabCbabaCabbaC nnnnrnrrrnrnnnn ??????? ??????? ??， 而 121111 2422 ??????? ??????????? nnnnnnrnrrrnnn babaabbabaabba ??， 則 )(2 nf = ))(22())(( 11 rrnrnrnrrnrnrnnrnn babababaCCC ????? ???????? ?? ??? )22( n 12?n ，所以 )(nf ??? )22( n n2 ，即對(duì)每一個(gè) ??Nn ， 12 22)( ?????? nnnnn baba . 例 ),1(2 2 1321 NnnnCCCC nnnnnn ???????? ?? 解析 : 不等式左 ????? nnnnn CCCC ?321 12 222112 ??????? nn ?n nn 12 2221 ??????? ?= 212?? n ， 原結(jié)論成立 . 例 xx eexf ???)( ,求證 : 21 )1()()3()2()1( nnenffff ?????? ?? 解析 : 11)1()1()()(2121122121221121 ???????????? ?? xxxxxxxxxxxxxx eeeeeeeeeeeexfxf 經(jīng)過(guò)倒序相乘 ,就可以得到 21 )1()()3()2()1( nnenffff ?????? ?? 例 xxxf 1)( ??,求證 : nn nnffff )1(2)2()3()2()1( ?????? ? 解析 : 2)12(2)12( 11212)12()12 112)(1( ?????????????????????? knknkk knkn kknkknknkk 其中 : nk 2,3,2,1 ?? ,因?yàn)?nknkknknkknk 2)12(0)2)(1(2)1(2 ???????????? 所以 22)12 112)(1( ???????? nknknkk 從而 nnnffff 22 )22()]2()3()2()1([ ?????? ?,所以 nn nnffff )1(2)2()3()2()1( ?????? ?. 例 7?k ,求證 : 231121111 ????????? nknnnSn ?. 解析 : )111()3121()2111()111(2 nnknknnknnknSn ??????????????? ? 因?yàn)楫?dāng) 0,0 ?? yx 時(shí) ,xyyxxyyx 211,2 ????,所以 4)11)(( ???yxyx,所以yxyx ??? 411,當(dāng)且僅當(dāng) yx? 時(shí)取到等號(hào) . 所以1)1(41432 421 4142 ?? ????????????????? nkn knnknnknnknnknS n ? 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk 所以231421 )1(211 )1(2 ????????? ?? kkknkkS n所以231121111 ????????? nknnnS n ? 例 ))(()( 21 xxxxaxf ??? ,求證 :16)1()0( 2aff ??. 解析 :16)]1()][1([)1()0( 222112 axxxxaff ?????. 例 f(x)=x2－ (－ 1)k239。39。2211222111211122111221nfaaaaaaaCaaCaaCCCCaaCaCaCaaCaaCaaCnSnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn?????????????????????????????????????????????? ★ 例 42. (2020 年江西高考試題 )已知函數(shù) ? ? 118axfx axxa? ? ? ???, ? ?0x,? ?? .對(duì)任意正數(shù) a ,證明： ? ?12fx??． 解析 :對(duì)任意給定的 0a? , 0x? ,由1 1 1( ) 1 1 81fx xaax? ? ??? ?, 若令 8b ax? ，則 8abx? ① ,而 ? ? 1 1 11 1 1fx x a b? ? ?? ? ?② 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk （一）、先證 ?? 1fx? ；因?yàn)?1111 xx? ??， 1111 aa? ??， 1111 bb? ??， 又由 42 2 2 2 4 2 8a b x a bx abx? ? ? ? ? ? ? ，得 6a b x? ? ? ． 所以 ? ? 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1fx x a bx a b? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?3 2 ( ) ( )(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b xx a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? 9 ( ) ( )(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b xx a b? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 ( ) ( ) 1(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b x a b xx a b? ? ? ? ? ? ???? ? ?． （二）、再證 ?? 2fx? ；由 ① 、 ② 式中關(guān)于 ,xab 的對(duì)稱性，不妨設(shè) x a b??．則 02b?? （ ⅰ ）、當(dāng) 7ab??，則 5a? ，所以 5xa??，因?yàn)? 1 11 b??， 1 1 2 11 1 1 5xa? ? ?? ? ?，此時(shí) ? ? 1 1 1 21 1 1fx x a b? ? ? ?? ? ?． （ ⅱ ）、當(dāng) 7ab??③ ，由 ① 得 , 8xab?， 181 ababx ? ??， 因?yàn)? 2221 1 [ 1 ]1 1 4 ( 1 ) 2 ( 1 )b b bb b b b? ? ? ? ?? ? ? ? 所以 1 1(1 )1 b bb ?? ??④ 同理得 1 12(1 )1 a aa ????⑤ ，于是 ? ? 1222 1 1 8a b a bfx a b a b??? ? ? ???? ? ???⑥ 今證明 21 1 8a b aba b ab??? ? ?⑦ , 因?yàn)? 21 1 (1 )(1 )a b a ba b a b??? ? ? ? ， 只要證 (1 )(1 ) 8ab aba b ab?? ? ?，即 8 (1 )(1 )ab a b? ? ? ?，也即 7ab??，據(jù) ③ ，此為顯然． 因此 ⑦ 得證．故由 ⑥ 得 () 2fx? ． 綜上所述，對(duì)任何正數(shù) a,x ，皆有 ? ?12fx??． 例 : 213 121111 ???????? nnn ? 解析 :一方面 : 1422141312113 12111 ????????? ????????? nnn ? (法二 )