【正文】 更多關注 @高中學習資料庫 求資料加微信： gzxxzlk 2020 高考數(shù)學 備考之 放縮技巧 證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種： 一、裂項放縮 例 1.(1)求 ?? ?nk k1 2 142 的值 。 (2)求證 : 3511 2 ???nk k. 解析 :(1)因為12 112 1)12)(12( 214 22 ???????? nnnnn,所以12 212 1114 21 2 ???????? n nnknk (2)因為?????? ???????? 12 112 1214 44111 222 nnnnn,所以3532112 112 151312111 2 ????????? ?????????? nnknk ? 奇巧積累 :(1) ?????? ??????? 12 112 1214 44 41 222 nnnnn (2))1( 1)1( 1)1()1( 21 21 1 ???????? nnnnnnnCC nn (3) )2(111)1( 1!11)!(! !11 ????????????? rrrrrrnrnr nnCT rrrnr (4)25)1( 123 112 111)11( ??????????? nnn n ? (5)nnnn 2112 1)12(2 1 ???? (6) nnn ???? 221 (7) )1(21)1(2 ?????? nnnnn (8) nnn nnnn 2)32( 12)12( 12132 112 2 1 ????????????? ??? ? (9) ?????? ?????????????? ?????? knnkknnnkknknk 11111)1( 1,11111)1( 1 (10) !)1( 1!1!)1( ???? nnn n (11)212121212 22)1212(21???????????? nnnnnnn (11) )2(12 112 1)12)(12( 2)22)(12( 2)12)(12( 2)12( 2 1112 ??????????????? ??? nnnnn nnn nnn nn n (12) 11 1)1( 1)1( 1)1)(1( 111 23 ???????????? ????????? nnnnnnnnnnnn 11112 111111 ?????????????? ???? nnn nnnn (13) 3212 132122)12(332)13(222 1 nnnnnnnnn ???????????????? (14) !)2( 1!)1( 1)!2()!1(! 2 ???????? ? kkkkk k (15) )2(1)1( 1 ????? nnnnn (15) 111)11)((11 2222 2222 ???? ?????? ??? ??? ji jijiji jiji ji 例 2.(1)求證 : )2()12(2 167)12( 151311 222 ????????? nnn? (2)求證 : nn 41214 1361161412 ?????? ? 更多關注 @高中學習資料庫 求資料加微信： gzxxzlk (3)求證 : 1122642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? (4) 求證： )112(2131211)11(2 ?????????? nnn ? 解析 :(1)因為?????? ???????? 12 112 121)12)(12( 1)12( 1 2 nnnnn,所以 )12 131(211)12 131(211)12( 11 2 ??????????? nnini (2) )111(41)1211(414 136116141 222 nnn ??????????? ?? (3)先運用分式放縮法證明出12 12642 )12(531 ?????? ????? nnn??,再結合 nnn ???? 221進行裂項 ,最后就可以得到答案 (4)首先nnnnn ?????? 12)1(21,所以容易經(jīng)過裂項得到 nn 131211)11(2 ??????? ? 再證212121212 22)1212(21???????????? nnnnnnn而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以)112(2131211 ??????? nn? 例 :35191411)12)(1( 6 2 ???????? nnn n ? 解析 :一方面 :因為?????? ???????? 12 112 1214 44111 222 nnnnn,所以 3532112 112 151312111 2 ????????? ?????????? nnknk ? 另一方面 :1111)1( 143 132 11191411 2 ????????????????? n nnnnn ?? 當 3?n 時 ,)12)(1( 61 ???? nn nn n,當 1?n 時 ,2191411)12)(1( 6 nnn n ??????? ?, 當 2?n 時 ,2191411)12)(1( 6 nnn n ??????? ?,所以綜上有 35191411)12)(1( 6 2 ???????? nnn n ? 例 4.(2020 年全國一卷 ) 設函數(shù) ( ) lnf x x x x?? .數(shù)列 ??na 滿足 101a??. 1 ()nna f a? ? .設 1( 1)ba? ， ，整數(shù)11lnabk ?≥.證明 : 1kab?? . 解析 :由數(shù)學歸納法可以證明 ??na 是遞增數(shù)列 ,故存在正 整數(shù) km? ,使 bam? ,則 baa kk ???1 ,否則若 )( kmbam ?? ,則由 10 1 ???? baa m 知 0lnlnln 11 ??? baaaaa mmm , ??? ????km mmkkkk aaaaaaa 111 lnln,因為 )ln(ln11 bakaakm mm ???, 于是 bababakaa k ??????? )(|ln| 11111 例 mmmmm nSxNmn ???????? ? ?321,1, ,求證 : 1)1()1( 11 ????? ?? mnm nSmn . 解析 :首先可以證明 : nxx n ??? 1)1( 更多關注 @高中學習資料庫 求資料加微信： gzxxzlk ?? ???????? ?????????????nk mmmmmmmm kknnnnn 1 11111111 ])1([01)2()1()1( ?所以要證 1)1()1( 11 ????? ?? mnm nSmn 只要證 : ??? ? ??????????? ?? ??????????????????? nk mmmmmmmmmnk mnk mm kknnnnnkmkk 1 111111111111 11 ])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ ? 故只要證 ???? ???? ?? ???????nk mmnk mnk mm kkkmkk 1 1111 11 ])1[()1(])1([,即等價于 mmmmm kkkmkk ??????? ??? 111 )1()1()1( ,即等價于 11 )11(11,)11(11 ?? ???????? mm kkmkkm 而正是成立的 ,所以原命題成立 . 例 nnna 24 ?? ,nnn aaaT ???? ?212 ,求證 : 23321 ????? nTTTT ? . 解析 : )21(2)14(3421 )21(241 )41(4)222(4444 21321 nnnnnnnT ??????????????????? ?? 所以123)2(2 2232234 2323234 2223434 2)21(2)14(34 2 2111111 ????????? ????????????? ?????? nn nnn nnn nnn nnn nnT ?????? ????????? ? 12 112 123)12)(122( 223 1nnnn n 從而2312 112 1713131123 1321 ??????? ????????????? ?nnnTTTT ?? 例 11?x ,??? ??? ???? ),2(1 ),12( Zkknn Zkknnxn,求證 : *))(11(2111 4 1224 544 32 Nnnxxxxxx nn ????????? ?? 證明 : nnnnnnxx nn 2 22 14114 1)12)(12( 11 4 24 244 122 ??????????,因為 12 ??? nnn ,所以 )1(2122 214 122 nnnnnxx nn ???????? 所以 *))(11(21114 1224 544 32 Nnnxxxxxx nn ????????? ?? 二、函數(shù)放縮 例 ： )(6 6533 3ln4 4ln3 3ln2 2ln *Nnnnn n ???????? ?. 解析 :先構造函數(shù)有xxxxx 11ln1ln ?????,從而 )313121(133 3ln4 4ln3 3ln2 2ln nnn n ?????????? ?? 因為 ?????? ???????????? ???????????? ????? nnnn 3112 1219181716151413121313121 ??? 653332 3279189936365 111 nnnnn ????????? ?????????? ???????? ??? ???? 所以 6 65365133 3ln4 4ln3 3ln2 2ln ?????????? nn nnn n? 更多關注 @高中學習資料庫 求資料加微信： gzxxzlk 例 :(1) )2()1(2 12ln3 3ln2 2ln,2 2 ?? ??????? nn nnn n? ?? ?? ?? ? 解析 :構造函數(shù)xxxf ln)( ?,得到22lnln nnnn ???,再進行裂項)1( 1111ln 22 2 ????? nnnnn,求和后可以得到答案 函數(shù)構造形式 : 1ln ??xx , )2(1ln ??? ??? nn 例 :nnn 1211)1l n(113121 ?????????? ?? 解析 :提示 : 2ln1ln1ln1211ln)1l n( ????????????? ?? n nnnn nnnn 函數(shù)構造形式 : xxxx 11ln,ln ??? 當然本題的證明還可以運用積分放縮 如圖 ,取函數(shù)xxf 1)( ?, 首先 : ???ninABCF xS1 ,從而 , )ln(ln|ln11 innxxin n innin ?????? ??? 取 1?i 有 , )1ln(ln1 ??? nnn, 所以有 2ln21?, 2ln3ln31 ??,…, )1ln(ln1 ??? nnn, nnn ln)1ln(11 ????,相加后可以得到 : )1ln(113121 ?????? nn? 另一方面 ???ninABDE xS1 ,從而有 )ln(ln|ln11 innxxiin n innin ??????? ??? 取 1?i 有 , )1ln(