高考數(shù)學(xué)_壓軸題_放縮法技巧全總結(jié)-wenkub.com
2025-05-27 22:40 本頁面
【正文】 (2)證明:. 解析:(1)依題,容易得到,要證, 即證 即證,設(shè)所以即證明 從而,即,這是顯然成立的. 所以綜上有對(duì)任意的, (法二) ,原不等式成立． (2)由(1)知，對(duì)任意的，有 ?。∪?， 則． 原不等式成立． 十四、經(jīng)典題目方法探究 探究1.(2008年福建省高考), :. 證明:首先: (方法一) 所以 (方法二)因?yàn)?相乘得: ,從而. (方法三)設(shè)A=,B=,因?yàn)锳B,所以A2AB, 所以, 從而. 下面介紹幾種方法證明 (方法一)因?yàn)?所以,所以有 (方法二),因?yàn)?所以 令,可以得到,所以有 (方法三)設(shè)所以, 從而,從而 又,所以 (方法四)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明: (i)當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=顯然不等式成立。 利用上述部分放縮的結(jié)論來放縮通項(xiàng)，可得 注：上述證明用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論 十三、三角不等式的放縮 :. 解析:(i)當(dāng)時(shí), (ii)當(dāng)時(shí),構(gòu)造單位圓,如圖所示: 因?yàn)槿切蜛OB的面積小于扇形OAB的面積 所以可以得到 當(dāng)時(shí) 所以當(dāng)時(shí)有 (iii)當(dāng)時(shí), ,由(ii)可知: 所以綜上有 十四、使用加強(qiáng)命題法證明不等式 (i)同側(cè)加強(qiáng) 對(duì)所證不等式的同一方向(可以是左側(cè),也可以是右側(cè)),只要證明,其中通過尋找分析,歸納完成. :對(duì)一切,都有. 解析: 從而 當(dāng)然本題還可以使用其他方法,如: 所以. (ii)異側(cè)加強(qiáng)(數(shù)學(xué)歸納法) (iii)雙向加強(qiáng) 有些不等式,往往是某個(gè)一般性命題的特殊情況,這時(shí),不妨”返璞歸真”,通過雙向加強(qiáng)還原其本來面目,: 欲證明,只要證明:. :,求證: 解析: ,從而,所以有 ,所以 又,所以,所以有 所以 所以綜上有 引申:已知數(shù)列滿足:,求證: . 解析:由上可知,又,所以 從而 又當(dāng)時(shí),所以綜上有. 同題引申: (2008年浙江高考試題)已知數(shù)列,. 記,.求證:當(dāng)時(shí). (1)?！ ∫源耄ǎ┦降谩〈耸綄?duì)一切正整數(shù)都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)有?！ ? 解析:由知 即 由此再由的單調(diào)性可以知道的最小值為，最大值為 因此對(duì)一切，的充要條件是， 即，滿足約束條件， 由線性規(guī)劃得，的最大值為5． 九、均值不等式放縮 解析: 此數(shù)列的通項(xiàng)為 ， 即 注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！ ②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用?！∷裕?，對(duì)都有： 故有成立。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種： 一、裂項(xiàng)放縮 例1.(1)求的值。 (2)求證:. 解析:(1)因?yàn)?所以 (2)因?yàn)?所以 技巧積累:(1) (2) (3) (4) (5) (6)
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