利用放縮法證明數(shù)列型不等式壓軸題-文庫吧資料
2025-03-30 12:45本頁面
【正文】 略解：（I）（II）得，． 證明：（III）由（II），得．顯然，； 當(dāng)為偶數(shù)時，； 當(dāng)為奇數(shù)（）時，.綜上所述，即，． 點評： 此題在作差比較中實施裂項放縮，進(jìn)而得到最后結(jié)果小于0，從而得證。點評：利用二項式定理結(jié)合放縮法證明不等式時，一定要緊密結(jié)合二項式展開式的特點，聯(lián)系需證不等式的結(jié)構(gòu)，通過化簡、變形、換元等手段使問題得以解決。例7設(shè)數(shù)列的前項和為，且對任意的，都有.(I)求的值；（II）求數(shù)列的通項公式；（III）證明：。例6已知數(shù)列滿足，（）．（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項；（Ⅱ）如果時，設(shè)數(shù)列的前項和為，試求出，并證明當(dāng)時，有．21世紀(jì)教育網(wǎng) 略解： （）， 則． ，當(dāng)時，則． ，則．因此， ． 反思：為什么會想到將放縮成？聯(lián)想到，因為要證明，而是一個數(shù)列前項的和，最后通過放縮很可能變成的形式，而應(yīng)是由放縮后裂項而成，此時剛好得到，接下來就要處理，想到用二項式定理。二項式定理放縮法：在證明與指數(shù)有關(guān)的數(shù)列型不等式時，用二項式定理放縮特別有效。例5已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足記，數(shù)列的前項和為，且．（I）數(shù)列和的通項公式；（II）求證： ．略解：（I） 。當(dāng)時，易知 點評：此題將目標(biāo)式進(jìn)行放縮得到遞
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