數(shù)列型不等式的放縮技巧九法-文庫吧資料
2025-07-01 02:18本頁面
【正文】 式都是正數(shù)，先證明一個加強(qiáng)不等式：對每個n206。n！，只要證n206。a2a2（2）證：據(jù)1176。n?。?6年江西卷理科第22題）解析：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個等比數(shù)列，其首項為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n179。a2七 轉(zhuǎn)化為加強(qiáng)命題放縮如上述例10第問所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以通過從特值入手進(jìn)行歸納探索、或運(yùn)用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強(qiáng)命題，就容易多了（略）。(ⅱ).（證略）五 換元放縮例15 求證 簡析 令，這里則有，從而有 注：通過換元化為冪的形式，為成功運(yùn)用二項展開式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。注：①本題有著深厚的科學(xué)背景：是計算機(jī)開平方設(shè)計迭代程序的根據(jù)；同時有著高等數(shù)學(xué)背景—數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限： ②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。例11 設(shè)，求證.簡析 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得，即，得證.例12 設(shè)數(shù)列滿足 （Ⅰ）證明對一切正整數(shù)成立；（Ⅱ）令，判定與的大小，并說明理由（04年重慶卷理科第（22）題）簡析 本題有多種放縮證明方法，這里我們對（Ⅰ）進(jìn)行減項放縮，有法1 用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）；法2 則四 利用單調(diào)性放縮1． 構(gòu)造數(shù)列如對上述例1，令則，遞減，有，故 再如例4，令則，即遞增，有，得證！ 注：由此可得例4的加強(qiáng)命題并可改造成為探索性問題：求對任意使恒成立的正整數(shù)的最大值；同理可得理科姊妹題的加強(qiáng)命題及其探索性結(jié)論，讀者不妨一試！ 2．構(gòu)造函數(shù)例13 已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，證明（04年遼寧卷第21題）解析 （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由得 且用數(shù)學(xué)歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得
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