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正文內(nèi)容

[高考]百例高考數(shù)學(xué)壓軸題精編精解(編輯修改稿)

2025-02-05 16:00 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 值 . ( 文 ) 求 nS . 函數(shù) )(xf 對(duì)任意 x∈ R 都有 f(x)+ f(1- x)= 12. ( 1)求 ))(1()1()21( Nnnnfnff ???和 的值; ( 2)數(shù)列 }{),1()1()2()1()0(}{nnn afnnfnfnffaa 求數(shù)列滿足 ??????? ?的通項(xiàng)公式。 ( 3)令nSbbbbTab nnnnn 1632,14 4 2232221 ????????? ?試比較 Tn與 Sn的大小。 11 41. 已知數(shù)列 ??na 的 首項(xiàng) 1 21aa??( a是常數(shù),且 1a?? ), 242 21 ???? ? nnaa nn ( 2n? ),數(shù)列 ??nb 的首項(xiàng) 1ba? , 2nab nn ?? ( 2n? )。 ( 1)證明: ??nb 從第 2項(xiàng)起是以 2為公比的等比 數(shù)列; ( 2)設(shè) nS 為數(shù)列 ??nb 的前 n項(xiàng)和,且 ??nS 是等比數(shù)列,求實(shí)數(shù) a的值; ( 3)當(dāng) a0時(shí),求數(shù)列 ??na 的最小項(xiàng)。 42. 已知拋物線 C: 2 2 ( 0)y px p??上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn) F的距離比到 y軸的距離大 1。 ( 1)求拋物線 C的方程; ( 2)若過焦點(diǎn) F的直線交拋物線于 M、 N兩點(diǎn), M在第一象限,且 |MF|=2|NF|,求直線 MN 的方程; ( 3) 求出一個(gè)數(shù)學(xué)問題的正確結(jié)論后,將其作為條件之一,提出與原來問題有關(guān)的新問題,我們把它稱為原來問題的一個(gè)“逆向”問題. 例如,原來問題是“若正四棱錐底面邊長為 4,側(cè)棱長為 3,求該正四棱錐 的體積”.求出體積 163后,它的一個(gè)“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為 4,體積為 163,求側(cè)棱長”;也可以是“若正四棱錐的體積為 163,求所有側(cè)面面積之和的最小值” . 現(xiàn)有正確命題: 過點(diǎn) ( ,0)2pA? 的直線交拋物線 C: 2 2 ( 0)y px p??于 P、 Q兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn) P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 R,則直線 RQ必過焦點(diǎn) F。 試給 出上述命題的“逆向”問題, 并解答你所給出的“逆向”問題 。 43. 已知函數(shù) f(x)= 52168xx?? ,設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 ??na 滿足 1a =l, ? ?1nna f a? ? . (I)寫出 2a , 3a 的值 。 (Ⅱ )試比較 na 與 54 的大小,并說明理由; (Ⅲ )設(shè)數(shù)列 ??nb 滿足 nb =54 - na ,記 Sn=1nii b??.證明:當(dāng) n≥ 2時(shí) ,Sn< 14 (2n- 1). 44. 已知函數(shù) f(x)=x3- 3ax(a∈ R). (I)當(dāng) a=l時(shí),求 f(x)的極小值; (Ⅱ )若直線菇 x+y+m=0對(duì)任意的 m∈ R都不是曲線 y=f(x)的切線,求 a的取值范圍; (Ⅲ )設(shè) g(x)=|f(x)|, x∈ [- l, 1],求 g(x)的最大值 F(a)的解析式. 45. 在平面直角坐標(biāo) 系中,已知三個(gè)點(diǎn)列 {An}, {Bn}, {Cn},其中 ),(),( nnnn bnBanA )0,1( ?nCn ,滿足向量 1?nnAA 與向量 nnCB 共線,且點(diǎn)( B, n)在方向向量為( 1, 6)的 線上 ., 11 abaa ??? ( 1)試用 a與 n表示 )2( ?nan ; 12 ( 2)若 a6與 a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是 an的最小值,試求 a的取值范圍。 46. 已知 2||||),0,2(),0,2( 2121 ??? PFPFPFF 滿足點(diǎn),記點(diǎn) P的軌跡為 E. ( 1)求軌跡 E的方程; ( 2)若直線 l 過點(diǎn) F2且與軌跡 E 交于 P、 Q 兩點(diǎn) . ( i)無論直線 l 繞點(diǎn) F2怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),在 x 軸上總存在定點(diǎn) )0,(mM ,使 MQMP? 恒成立,求實(shí)數(shù) m的值 . ( ii)過 P、 Q作直線 21?x 的垂線 PA、 OB,垂足分別為 A、 B,記|| |||| AB QBPA ???,求λ的取值范圍 . 47. 設(shè) x )0()()( 223212 ????? axabxaxxfxxx 是函數(shù) 的兩個(gè)極值點(diǎn) . ( 1)若 2,1 21 ??? xx ,求函數(shù) f(x)的解析式; ( 2)若 bxx 求,22|||| 21 ?? 的最大值; ( 3)若 )()()(, 1221 xxaxfxgaxxxx ??????? 函數(shù)且 ,求證: .)23(121|)(| 2?? aaxg 48. 已知 }{),10(lo g)( na aaxxf ??? ,若數(shù)列 {an} *)(42),(,),(),(),(,2 321 Nnnafafafaf n ????使得 成等差數(shù)列 . ( 1)求 {an}的通項(xiàng) an。 ( 2)設(shè) ),( nnn afab ?? 若 {bn}的前 n項(xiàng)和是 Sn,且 .312:,11 224224 ????? ?anaSaa nn求證 49. 點(diǎn) P在以 21,FF 為焦點(diǎn)的雙曲線 1:2222 ?? byaxE )0,0( ?? ba 上,已知 21 PFPF ? ,||2|| 21 PFPF ? , O為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)求雙曲線的離心率 e ; ( Ⅱ)過點(diǎn) P作直線分別與雙曲線漸近線相交于 21,PP 兩點(diǎn),且 42721 ???OPOP, 02 21 ?? PPPP ,求雙曲線 E的方程; (Ⅲ)若過點(diǎn) )0,(mQ ( m 為非零常數(shù))的直線 l 與( 2)中雙曲線 E 相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn) M、 N,且 QNMQ ?? ( ? 為非零常數(shù)),問在 x 軸上是否存在定點(diǎn) G,使 )(21 GNGMFF ??? ?若存在,求出所有這種定點(diǎn) G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 1163)( 23 ???? axxaxxf , 1263)( 2 ??? xxxg ,和直線 9: ?? kxym ,又0)1( ???f . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)是否存在 k 的值,使直線 m 既是曲線 )(xfy? 的切線,又是 )(xgy? 的切線;如果存在,求出 k 的值;如果不存在 ,說明理由. (Ⅲ)如果對(duì)于所有 2??x 的 x ,都有 )(9)( xgkxxf ??? 成立,求 k 的取值范圍. 13 51. 已知二次函數(shù) ),(,)( 2 Rcbacbxaxxf ???? 滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù) x,都有 xxf ?)( ,且當(dāng) ?x( 1, 3)時(shí),有 2)2(81)( ?? xxf 成立。 ( 1)證明: 2)2( ?f 。 ( 2)若 )(,0)2( xff ?? 的表達(dá)式。 ( 3)設(shè) xmxfxg 2)()( ?? ),0[ ???x ,若 )(xg 圖上的點(diǎn)都位于直線 41?y 的上方,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 52. ( 1)數(shù)列 {an}和 {bn}滿足 )(121 nn bbbna ???? ? ( n=1, 2, 3?),求證 {bn}為等差數(shù)列的充要條件是 {an}為等差數(shù)列。( 8分) ( 2)數(shù)列 {an}和 {}滿足 *)(2 1 Nnaac nnn ??? ? ,探究 }{na 為等差數(shù)列的充分必要條件,需說明理由 。 [提示:設(shè)數(shù)列 {bn}為 )3,2,1(2 ???? ? naab nnn 53. 某次象棋比賽的決賽在甲乙兩名棋手之間舉行,比賽采用積分制,比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得 2分,平一局得 1 分,輸一局得 0 分;比賽共進(jìn)行五局,積分有超過 5 分者比賽結(jié)束,否則繼續(xù)進(jìn)行 . 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),每局甲贏的概率為 21 ,乙贏的概率為 31 ,且每局比賽輸贏互不受影響 . 若甲第 n局贏、平、輸?shù)牡梅址謩e記為 2?na 、 1?na 、 0?na ,51,* ??? nNn 令 nn aaaS ???? ?21 . (Ⅰ )求 53?S 的概率;(Ⅱ)若隨機(jī)變量 ? 滿足 7??S ( ? 表示局?jǐn)?shù)),求 ? 的分布列和期望 . 54. 如圖,已知直線 l 與拋物線 yx 42 ? 相切于點(diǎn) P(2, 1),且與 x 軸交于點(diǎn) A,定點(diǎn) B 的 坐標(biāo)為 (2, 0) .( I)若動(dòng)點(diǎn) M 滿足02 ??? AMBMAB ,求點(diǎn) M的軌跡 C; ( II)若過點(diǎn) B的直線 l?(斜率不等于零)與( I)中的軌跡 C交于不同的兩點(diǎn) E、 F( E在 B、 F之間),試求 ? OBE與 ? OBF面積之比的取值范圍 . 55,已知 A、 B 是橢圓 )0(12222 ???? babyax 的一條弦, M(2, 1)是 AB 中點(diǎn),以 M 為焦點(diǎn),以橢圓的右準(zhǔn)線為相應(yīng)準(zhǔn)線的雙曲線與直線 AB 交于 N(4, —1). (1)設(shè)雙曲線的離心率 e,試將 e 表示為橢圓的半長軸長的函數(shù) . (2)當(dāng)橢圓的離心率是雙曲線的離心率的倒數(shù)時(shí),求橢圓的方程 . (3)求出橢圓長軸長的取值范圍 . xyOMABN 14 A B C A1 B1 C1 O 56已知: )1,(,}{,14)(12 ?????nnnnn aaPSnaxxf 點(diǎn)項(xiàng)和為的前數(shù)列在曲線 .0,1),()( 1* ???? naaNnxfy 且上 ( 1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式; ( 2)數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和為 Tn,且滿足 3816 22 12 1 ???? ?? nnaTaT n nnn,設(shè)定 b1 的值,使得數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列; ( 3)求證: *,11421 NnnSn ???? 5已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn,并且滿足 a1= 2,nan+ 1= Sn+ n(n+ 1). ( 1)求數(shù)列 nn aa 的通項(xiàng)公式}{ ; ( 2)設(shè) .,}2{nnnn TnaT 求項(xiàng)和的前為數(shù)列 5已知向量 aaxxfaaam ???? 221)()0( )21,1( ,將函數(shù)的圖象按向量 m 平移后得到函數(shù))(xg 的圖象。 (Ⅰ)求函數(shù) )(xg 的表達(dá)式;(Ⅱ)若函數(shù) ]2,2[)( 在xg 上的最小值為 )()( ahah ,求 的最大值。 5 已知斜三棱柱 111 CBAABC ? 的各棱長均為 2, 側(cè)棱 1BB 與底面 ABC 所成角為 3? , 且側(cè)面 ?11AABB 底面 ABC . ( 1)證明:點(diǎn) 1B 在平面 ABC 上的射影 O 為 AB 的中點(diǎn); ( 2)求二面角 BABC ?? 1 的大小 ;( 3)求點(diǎn) 1C 到平面 ACB1 的距離 . 60、 如圖,已知四棱錐 S ABCD? 中, SAD? 是邊長為 a 的正三角形,平面 SAD? 平面 ABCD ,四邊形 ABCD 為菱形, 60DAB??, P 為 AD 的 中點(diǎn), Q 為 SB 的 中點(diǎn) . ( Ⅰ )求證: //PQ 平面 SCD ;( Ⅱ )求二面角 B PC Q??的大?。? 61. 設(shè)集合 W是滿足下列兩個(gè)條件的無窮數(shù)列 {an}的集合: ① 。212 ?? ?? nnn aaa ② ,. *NnMa n ?? 其中 M 是與 n無關(guān)的常 數(shù) . ( 1)若 {an}是等差數(shù)列, Sn是其前 n項(xiàng)的和, a3=4, S3=18,證明: {Sn}∈ W ( 2)設(shè)數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)為 Wbnb nnn ??? }{,25 且 ,求 M的取值范圍; S Q D A B P C 15 ( 3)設(shè)數(shù)列 {}的各項(xiàng)均為正整數(shù),且 1.}{ ??? nnn ccWc 證明: 62. 數(shù)列 ??na 和數(shù)列 ??nb ( n?+N )由下列條件確定:( 1) 1 0a? , 1 0b? ; ( 2)當(dāng) 2k? 時(shí), ka 與 kb 滿足如下條件:當(dāng) 1102kkab??? ?時(shí), 1kkaa?? , 112kkk abb ????;當(dāng)1102kkab??? ? 時(shí), 112kkk aba ???? , 1kkbb?? . 解答下列問題:(Ⅰ)證明數(shù)列 ? ?kkab? 是等比數(shù)列; (Ⅱ)記數(shù)列 ? ?()knn b a? 的前 n 項(xiàng)和為 nS ,若已知當(dāng) 1a? 時(shí), lim 0nn na?? ?,求 limnn S??. (Ⅲ) ( 2)nn? 是滿足 12 nb b b? ? ? 的最大整數(shù)時(shí),用 1a , 1b 表示 n 滿足的條件 . 63. 已知函數(shù) ? ? ? ?1l n , 0 ,f x x a x xx? ? ? ? ? ? (a為實(shí)常 數(shù) ). (1) 當(dāng) a = 0時(shí),求 ??fx的最小值; (2)若 ??fx在 [2, )?? 上是單調(diào)函數(shù),求 a的取值范圍; (3)設(shè)各項(xiàng)為正的無窮數(shù)列 }{nx 滿足 ? ?*11ln 1 ,nnx n Nx ?? ? ? 證明: nx ≤ 1(n∈ N*). 32()f x x ax bx? ? ?( 0)x? 的圖象與直線 4y? 相切于 (1,4)M . ( Ⅰ )求 32()f x x ax bx? ? ?在區(qū)間 (0,4]
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