【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 h的速度沿如圖所示的BC方向航行，15min后達(dá)到C處，176。方向，求此時(shí)貨輪與A觀測(cè)點(diǎn)之間的距離AC的長(zhǎng)()．(參考數(shù)據(jù)：176?！郑?76?！?，176?！?，176?！郑?76?！?，≈，≈)8.（2012四川樂山10分）如圖，在東西方向的海岸線l上有一長(zhǎng)為1千米的碼頭MN，在碼頭西端M的正西方向30 千米處有一觀察站O．某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線航行的輪船位于O的北偏西30176。方向，且與O相距千米的A處；經(jīng)過40分鐘，又測(cè)得該輪船位于O的正北方向，且與O相距20千米的B處．（1）求該輪船航行的速度；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）四、構(gòu)造全等三角形：通過構(gòu)造全等三角形，應(yīng)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B′處，又將△CEF沿EF折疊，使點(diǎn)C落在EB′與AD的交點(diǎn)C′處．則BC：AB的值為 ▲ 。例2. （2012山東泰安3分）如圖，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，若AB=5，CD=3，則EF的長(zhǎng)是【 】　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1【答案】D。【考點(diǎn)】三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥窟B接DE并延長(zhǎng)交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE?！逧是AC中點(diǎn)，∴DE=EH?！唷鱀CE≌△HAE（AAS）?！郉E=HE，DC=AH?！逨是BD中點(diǎn)，∴EF是△DHB的中位線。∴EF=BH?！郆H=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故選D。例3.（2012山東德州12分）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】解：（1）如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90176。，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC?！唷螦PB=∠BPH。（2）△PHD的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q。由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90176。，BP=BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）?！郃P=QP，AB=BQ。又∵AB=BC，∴BC=BQ。又∵∠C=∠BQH=90176。，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）?！郈H=QH?！唷鱌HD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB。又∵EF為折痕，∴EF⊥BP?！唷螮FM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176?！唷螮FM=∠ABP。又∵∠A=∠EMF=90176。，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。∴EM=AP=x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即?！唷Ｓ帧咚倪呅蜳EFG與四邊形BEFC全等，∴。∵，∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值6?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案。（2）先由AAS證明△ABP≌△QBP，從而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周長(zhǎng)=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，從而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函數(shù)的最值求出即可。例4. （2011廣西南寧3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90186。，∠A＝15186。，AB＝8，則ACBC的值為【 】A．14 B．16 C．4 D．16【答案】D?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)?！痉治觥垦娱L(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD＝CB，連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E。則知△ACD≌△ACB，從而由已知得∠CAD＝∠A＝15186。，AD＝AB。因此，在Rt△ADE中，AD＝8，∠BAD＝30186。，∴DE＝ADsin30186。＝4。從而S△ADE＝ABDE＝16，又S△ADE＝BDAC＝2BCAC＝ACBC，即ACBC＝16。例5. （2011山東濟(jì)南3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90186。，AC＞BC，分別以AB、BC、CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，連接EF、GM、ND，設(shè)△AEF、△BND、△CGM的面積分別為SSS3，則下列結(jié)論正確的是【 】A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1【答案】A?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥窟^點(diǎn)D作DQ⊥MN交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q； 過點(diǎn)E作ER⊥GF交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R。 易證△CGM≌△CAB（SAS），即S2＝S△ABC； 易證△PBD≌△CAB（AAS），∴BP=AC，即S3的底為BN=BC，高為BP=AC，∴S2＝S△ABC；易證△SEA≌△CAB（AAS），∴AS=BC，即S1的底為FA=CA，高為AS=BC，∴S2＝S△ABC?！郤1＝S2＝S3＝S△ABC。故選A。例6. （2011山東德州8分）如圖 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O．（1）求證AD=AE；（2）連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關(guān)系并說明理由．【答案】解：（1）證明：在△ACD與△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90176。，AB=AC，∴△ACD≌△ABE（AAS）?！郃D=AE。 （2）在Rt△ADO與Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO（HL）。∴∠DAO=∠EAO。即OA是∠BAC的平分線。又∵AB=AC，∴OA⊥BC。【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)全等三角形AAS的判定方法，證明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE。（2）根據(jù)已知條件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判斷出OA是∠BAC的平分線，即OA⊥BC。練習(xí)題：1. （2012湖南岳陽(yáng)3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90176。，沿AD折疊，使點(diǎn)B落在斜邊AC上，若AB=3，BC=4，則BD=　 ▲ ?。?. （2011湖北恩施3分）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為 【 】A、11 B、 C、7 D、3. （2011湖北隨州4分）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40176。，則∠CAP=　 ▲ ?。?.（2011廣西貴港2分）如圖所示，將兩張等寬的長(zhǎng)方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個(gè)四邊形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60176。，則四邊形ABCD的面積等于_ ▲ cm2．5. （2011江蘇徐州6分）如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行折疊: 對(duì)折、展平, 得折痕EF(如圖①)。 沿GC折疊, 使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B39。 處(如圖②)。 展平, 得折痕GC(如圖③)。 沿GH折疊, 使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C39。 處(如圖④)。 沿GC39。 折疊(如圖⑤)。 展平, 得折痕GC39。 、GH(如圖⑥)。（1） 求圖②中∠BCB39。 的大小。（2） 圖⑥中的△GCC39。 是正三角形嗎?請(qǐng)說明理由. 五、構(gòu)造相似三角形：通過構(gòu)造相似三角形，應(yīng)用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012廣東深圳3分）小明想測(cè)量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上；如圖，此時(shí)測(cè)得地面上的影長(zhǎng)為8米，坡面上的影長(zhǎng)為4米．已知斜坡的坡角為300，同一時(shí) 刻，一根長(zhǎng)為l米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2米，則樹的高度為【 】 D．10米【答案】A?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥垦娱L(zhǎng)AC交BF延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，則∠CFE=30176。作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30176。，CF=4，∴CE=2，EF=4cos30176。=2，在Rt△CED中，CE=2，∵同一時(shí)刻，一根長(zhǎng)為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2米，∴DE=4。∴BD=BF+EF+ED=12+2。∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，∴在Rt△ABD中，AB=BD=。故選A。例2.（2012湖北十堰3分）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分線EF交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，則EF=　 ▲ 　．【答案】。【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；．【分析】連接EC，AC、EF相交于點(diǎn)O。∵AC的垂直平分線EF，∴AE=EC?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠D=∠B=90176。，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC?！唷鰽OE∽△COF?！唷！逴A=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得： CE=?！咴赗t△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，∴CO=?！咴赗t△CEO中，CO=，CE=，由勾股定理得：EO=。∴EF=2EO=。例3.（2012天津市10分）已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP．設(shè)BP=t．（Ⅰ）如圖①，當(dāng)∠BOP=300時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，∠OBP=90176。，OB=6。在Rt△OBP中，由∠BOP=30176。，BP=t，得OP=2t。∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，6）。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180176。，∴∠OPB+∠QPC=90176?！摺螧OP+∠OPB=90176。，∴∠BOP=∠CPQ。又∵∠OBP=∠C=90176。，∴△OBP∽△PCQ。∴。由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11－t，CQ=6－m．∴?！啵?＜t＜11）。（Ⅲ）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚á瘢└鶕?jù)題意得，∠OBP=90176。，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30176。，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案。（Ⅲ）首先過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，易證得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與，即可求得t的值： 過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90176。∴∠PC′E+∠EPC′=90176?！摺螾C′E+∠QC′A=90176。，∴∠EPC′=∠QC′A?！唷鱌C′E∽△C′QA?！唷！逷C′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m，∴?！唷！?，即，∴，即。將代入，并化簡(jiǎn)，得。解得：?！帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）。例4.（2012湖南岳陽(yáng)3分）如圖，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點(diǎn)，且AD=AB，DF∥BC，E為BD的中點(diǎn)．若EF⊥AC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為　 ▲ ?。敬鸢浮?5?！究键c(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理。【分析】如圖，過D點(diǎn)作DG⊥AC，垂足為G，過A點(diǎn)作AH⊥BC，垂足為H，∵AB=AC，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，且AD=AB，∴設(shè)BE=DE=x，則AD=AF=4x?！逥G⊥AC，EF⊥AC，∴DG∥EF，∴，即，解得?！逥F∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得DF=4。又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，∴Rt△DFG∽R(shí)t△ACH，∴，即，]解得。