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正文內(nèi)容

幾何輔助線作法(編輯修改稿)

2025-06-12 02:07 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 h的速度沿如圖所示的BC方向航行,15min后達(dá)到C處,176。方向,求此時(shí)貨輪與A觀測(cè)點(diǎn)之間的距離AC的長(zhǎng)().(參考數(shù)據(jù):176?!郑?76?!?,176。≈,176?!郑?76。≈,≈,≈)8.(2012四川樂(lè)山10分)如圖,在東西方向的海岸線l上有一長(zhǎng)為1千米的碼頭MN,在碼頭西端M的正西方向30 千米處有一觀察站O.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線航行的輪船位于O的北偏西30176。方向,且與O相距千米的A處;經(jīng)過(guò)40分鐘,又測(cè)得該輪船位于O的正北方向,且與O相距20千米的B處.(1)求該輪船航行的速度;(2)如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行,那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸?請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù):,)四、構(gòu)造全等三角形:通過(guò)構(gòu)造全等三角形,應(yīng)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等的性質(zhì),達(dá)到求證(解)的目的。典型例題:例1. (2012浙江紹興5分)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BC,CD上,將△ABE沿AE折疊,使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B′處,又將△CEF沿EF折疊,使點(diǎn)C落在EB′與AD的交點(diǎn)C′處.則BC:AB的值為 ▲ 。例2. (2012山東泰安3分)如圖,AB∥CD,E,F(xiàn)分別為AC,BD的中點(diǎn),若AB=5,CD=3,則EF的長(zhǎng)是【 】  A.4  B.3  C.2  D.1【答案】D?!究键c(diǎn)】三角形中位線定理,全等三角形的判定和性質(zhì)?!痉治觥窟B接DE并延長(zhǎng)交AB于H,∵CD∥AB,∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE?!逧是AC中點(diǎn),∴DE=EH?!唷鱀CE≌△HAE(AAS)?!郉E=HE,DC=AH?!逨是BD中點(diǎn),∴EF是△DHB的中位線?!郋F=BH?!郆H=AB﹣AH=AB﹣DC=2?!郋F=1。故選D。例3.(2012山東德州12分)如圖所示,現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)將正方形紙片折疊,使點(diǎn)B落在P處,點(diǎn)C落在G處,PG交DC于H,折痕為EF,連接BP、BH.(1)求證:∠APB=∠BPH;(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí),△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?并證明你的結(jié)論;(3)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式,試問(wèn)S是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】解:(1)如圖1,∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB.又∵∠EPH=∠EBC=90176。,∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP,即∠PBC=∠BPH。又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。(2)△PHD的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下:如圖2,過(guò)B作BQ⊥PH,垂足為Q。由(1)知∠APB=∠BPH,又∵∠A=∠BQP=90176。,BP=BP,∴△ABP≌△QBP(AAS)?!郃P=QP,AB=BQ。又∵AB=BC,∴BC=BQ。又∵∠C=∠BQH=90176。,BH=BH,∴△BCH≌△BQH(HL)。∴CH=QH。∴△PHD的周長(zhǎng)為:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。(3)如圖3,過(guò)F作FM⊥AB,垂足為M,則FM=BC=AB。又∵EF為折痕,∴EF⊥BP?!唷螮FM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176。∴∠EFM=∠ABP。又∵∠A=∠EMF=90176。,AB=ME,∴△EFM≌△BPA(ASA)?!郋M=AP=x.∴在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,即?!?。又∵四邊形PEFG與四邊形BEFC全等,∴。∵,∴當(dāng)x=2時(shí),S有最小值6?!究键c(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題),正方形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,二次函數(shù)的最值?!痉治觥浚?)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH,進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案。(2)先由AAS證明△ABP≌△QBP,從而由HL得出△BCH≌△BQH,即可得CH=QH。因此,△PDH的周長(zhǎng)=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。(3)利用已知得出△EFM≌△BPA,從而利用在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,利用二次函數(shù)的最值求出即可。例4. (2011廣西南寧3分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90186。,∠A=15186。,AB=8,則ACBC的值為【 】A.14 B.16 C.4 D.16【答案】D。【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù)?!痉治觥垦娱L(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD=CB,連接AD,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為點(diǎn)E。則知△ACD≌△ACB,從而由已知得∠CAD=∠A=15186。,AD=AB。因此,在Rt△ADE中,AD=8,∠BAD=30186。,∴DE=ADsin30186。=4。從而S△ADE=ABDE=16,又S△ADE=BDAC=2BCAC=ACBC,即ACBC=16。例5. (2011山東濟(jì)南3分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90186。,AC>BC,分別以AB、BC、CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG,連接EF、GM、ND,設(shè)△AEF、△BND、△CGM的面積分別為SSS3,則下列結(jié)論正確的是【 】A.S1=S2=S3 B.S1=S2<S3C.S1=S3<S2 D.S2=S3<S1【答案】A?!究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)?!痉治觥窟^(guò)點(diǎn)D作DQ⊥MN交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q; 過(guò)點(diǎn)E作ER⊥GF交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S,交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R。 易證△CGM≌△CAB(SAS),即S2=S△ABC; 易證△PBD≌△CAB(AAS),∴BP=AC,即S3的底為BN=BC,高為BP=AC,∴S2=S△ABC;易證△SEA≌△CAB(AAS),∴AS=BC,即S1的底為FA=CA,高為AS=BC,∴S2=S△ABC?!郤1=S2=S3=S△ABC。故選A。例6. (2011山東德州8分)如圖 AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE與CD相交于點(diǎn)O.(1)求證AD=AE;(2)連接OA,BC,試判斷直線OA,BC的關(guān)系并說(shuō)明理由.【答案】解:(1)證明:在△ACD與△ABE中,∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90176。,AB=AC,∴△ACD≌△ABE(AAS)?!郃D=AE。 (2)在Rt△ADO與Rt△AEO中,∵OA=OA,AD=AE,∴△ADO≌△AEO(HL)?!唷螪AO=∠EAO。即OA是∠BAC的平分線。又∵AB=AC,∴OA⊥BC?!究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)【分析】(1)根據(jù)全等三角形AAS的判定方法,證明△ACD≌△ABE,即可得出AD=AE。(2)根據(jù)已知條件得出△ADO≌△AEO,得出∠DAO=∠EAO,即可判斷出OA是∠BAC的平分線,即OA⊥BC。練習(xí)題:1. (2012湖南岳陽(yáng)3分)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90176。,沿AD折疊,使點(diǎn)B落在斜邊AC上,若AB=3,BC=4,則BD=  ▲  .2. (2011湖北恩施3分)如圖,AD是△ABC的角平分線,DF⊥AB,垂足為F,DE=DG,△ADG和△AED的面積分別為50和39,則△EDF的面積為 【 】A、11 B、 C、7 D、3. (2011湖北隨州4分)如圖,△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P,若∠BPC=40176。,則∠CAP=  ▲  .4.(2011廣西貴港2分)如圖所示,將兩張等寬的長(zhǎng)方形紙條交叉疊放,重疊部分是一個(gè)四邊形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60176。,則四邊形ABCD的面積等于_ ▲ cm2.5. (2011江蘇徐州6分)如圖,將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行折疊: 對(duì)折、展平, 得折痕EF(如圖①)。 沿GC折疊, 使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B39。 處(如圖②)。 展平, 得折痕GC(如圖③)。 沿GH折疊, 使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C39。 處(如圖④)。 沿GC39。 折疊(如圖⑤)。 展平, 得折痕GC39。 、GH(如圖⑥)。(1) 求圖②中∠BCB39。 的大小。(2) 圖⑥中的△GCC39。 是正三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由. 五、構(gòu)造相似三角形:通過(guò)構(gòu)造相似三角形,應(yīng)用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì),達(dá)到求證(解)的目的。典型例題:例1. (2012廣東深圳3分)小明想測(cè)量一棵樹(shù)的高度,他發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子恰好落在地面和一斜坡上;如圖,此時(shí)測(cè)得地面上的影長(zhǎng)為8米,坡面上的影長(zhǎng)為4米.已知斜坡的坡角為300,同一時(shí) 刻,一根長(zhǎng)為l米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2米,則樹(shù)的高度為【 】 D.10米【答案】A?!究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用(坡度坡角問(wèn)題),銳角三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)值,相似三角形的判定和性質(zhì)?!痉治觥垦娱L(zhǎng)AC交BF延長(zhǎng)線于E點(diǎn),則∠CFE=30176。作CE⊥BD于E,在Rt△CFE中,∠CFE=30176。,CF=4,∴CE=2,EF=4cos30176。=2,在Rt△CED中,CE=2,∵同一時(shí)刻,一根長(zhǎng)為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2米,∴DE=4?!郆D=BF+EF+ED=12+2?!摺鱀CE∽△DAB,且CE:DE=1:2,∴在Rt△ABD中,AB=BD=。故選A。例2.(2012湖北十堰3分)如圖,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,AC的垂直平分線EF交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F,則EF=  ▲  .【答案】。【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì),矩形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理;.【分析】連接EC,AC、EF相交于點(diǎn)O?!逜C的垂直平分線EF,∴AE=EC?!咚倪呅蜛BCD是矩形,∴∠D=∠B=90176。,AB=CD=2,AD=BC=4,AD∥BC。∴△AOE∽△COF?!唷!逴A=OC,∴OE=OF,即EF=2OE。在Rt△CED中,由勾股定理得:CE2=CD2+ED2,即CE2=(4-CE)2+22,解得: CE=?!咴赗t△ABC中,AB=2,BC=4,由勾股定理得:AC=,∴CO=?!咴赗t△CEO中,CO=,CE=,由勾股定理得:EO=?!郋F=2EO=。例3.(2012天津市10分)已知一個(gè)矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(11,0),點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合),經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、P折疊該紙片,得點(diǎn)B′和折痕OP.設(shè)BP=t.(Ⅰ)如圖①,當(dāng)∠BOP=300時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(Ⅱ)如圖②,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片,使點(diǎn)C落在直線PB′上,得點(diǎn)C′和折痕PQ,若AQ=m,試用含有t的式子表示m;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).【答案】解:(Ⅰ)根據(jù)題意,∠OBP=90176。,OB=6。在Rt△OBP中,由∠BOP=30176。,BP=t,得OP=2t?!逴P2=OB2+BP2,即(2t)2=62+t2,解得:t1=,t2=-(舍去).∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ,6)。(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的,∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP?!唷螼PB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC?!摺螼PB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180176。,∴∠OPB+∠QPC=90176?!摺螧OP+∠OPB=90176。,∴∠BOP=∠CPQ。又∵∠OBP=∠C=90176。,∴△OBP∽△PCQ?!?。由題意設(shè)BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,則PC=11-t,CQ=6-m.∴。∴(0<t<11)。(Ⅲ)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,6)或(,6)?!究键c(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì)?!痉治觥浚á瘢└鶕?jù)題意得,∠OBP=90176。,OB=6,在Rt△OBP中,由∠BOP=30176。,BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理,即可得方程,解此方程即可求得答案。 (Ⅱ)由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的,可知△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP,易證得△OBP∽△PCQ,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求得答案。(Ⅲ)首先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E,易證得△PC′E∽△C′QA,由勾股定理可求得C′Q的長(zhǎng),然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與,即可求得t的值: 過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E,∴∠PEA=∠QAC′=90176?!唷螾C′E+∠EPC′=90176?!摺螾C′E+∠QC′A=90176。,∴∠EPC′=∠QC′A?!唷鱌C′E∽△C′QA?!?。∵PC′=PC=11-t,PE=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6-m,∴?!??!?,即,∴,即。將代入,并化簡(jiǎn),得。解得:?!帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為(,6)或(,6)。例4.(2012湖南岳陽(yáng)3分)如圖,△ABC中,AB=AC,D是AB上的一點(diǎn),且AD=AB,DF∥BC,E為BD的中點(diǎn).若EF⊥AC,BC=6,則四邊形DBCF的面積為  ▲  .【答案】15?!究键c(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);勾股定理?!痉治觥咳鐖D,過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC,垂足為G,過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC,垂足為H,∵AB=AC,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn),且AD=AB,∴設(shè)BE=DE=x,則AD=AF=4x。∵DG⊥AC,EF⊥AC,∴DG∥EF,∴,即,解得?!逥F∥BC,∴△ADF∽△ABC,∴,即,解得DF=4。又∵DF∥BC,∴∠DFG=∠C,∴Rt△DFG∽R(shí)t△ACH,∴,即,]解得。
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