【文章內容簡介】 h的速度沿如圖所示的BC方向航行，15min后達到C處，176。方向，求此時貨輪與A觀測點之間的距離AC的長()．(參考數據：176。≈，176?！?，176?！?，176?！郑?76。≈，≈，≈)8.（2012四川樂山10分）如圖，在東西方向的海岸線l上有一長為1千米的碼頭MN，在碼頭西端M的正西方向30 千米處有一觀察站O．某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于O的北偏西30176。方向，且與O相距千米的A處；經過40分鐘，又測得該輪船位于O的正北方向，且與O相距20千米的B處．（1）求該輪船航行的速度；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由．（參考數據：，）四、構造全等三角形：通過構造全等三角形，應用全等三角形對應邊、角相等的性質，達到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，將△ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B′處，又將△CEF沿EF折疊，使點C落在EB′與AD的交點C′處．則BC：AB的值為 ▲ 。例2. （2012山東泰安3分）如圖，AB∥CD，E，F分別為AC，BD的中點，若AB=5，CD=3，則EF的長是【 】　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1【答案】D?！究键c】三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質?！痉治觥窟B接DE并延長交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE?！逧是AC中點，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE（AAS）?！郉E=HE，DC=AH。∵F是BD中點，∴EF是△DHB的中位線。∴EF=BH?！郆H=AB﹣AH=AB﹣DC=2?！郋F=1。故選D。例3.（2012山東德州12分）如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論；（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90176。，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC?！唷螦PB=∠BPH。（2）△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q。由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90176。，BP=BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）?！郃P=QP，AB=BQ。又∵AB=BC，∴BC=BQ。又∵∠C=∠BQH=90176。，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）?！郈H=QH?！唷鱌HD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB。又∵EF為折痕，∴EF⊥BP?！唷螮FM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176?！唷螮FM=∠ABP。又∵∠A=∠EMF=90176。，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。∴EM=AP=x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即?！?。又∵四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，∴?！撸喈攛=2時，S有最小值6。【考點】翻折變換（折疊問題），正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，二次函數的最值?！痉治觥浚?）根據翻折變換的性質得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質得出∠APB=∠PBC即可得出答案。（2）先由AAS證明△ABP≌△QBP，從而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，從而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函數的最值求出即可。例4. （2011廣西南寧3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90186。，∠A＝15186。，AB＝8，則ACBC的值為【 】A．14 B．16 C．4 D．16【答案】D。【考點】全等三角形的判定和性質，銳角三角函數?！痉治觥垦娱LBC到點D，使CD＝CB，連接AD，過點D作DE⊥AB，垂足為點E。則知△ACD≌△ACB，從而由已知得∠CAD＝∠A＝15186。，AD＝AB。因此，在Rt△ADE中，AD＝8，∠BAD＝30186。，∴DE＝ADsin30186。＝4。從而S△ADE＝ABDE＝16，又S△ADE＝BDAC＝2BCAC＝ACBC，即ACBC＝16。例5. （2011山東濟南3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90186。，AC＞BC，分別以AB、BC、CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，連接EF、GM、ND，設△AEF、△BND、△CGM的面積分別為SSS3，則下列結論正確的是【 】A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1【答案】A?！究键c】正方形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質。【分析】過點D作DQ⊥MN交CB的延長線于點P，交MN的延長線于點Q； 過點E作ER⊥GF交CA的延長線于點S，交GF的延長線于點R。 易證△CGM≌△CAB（SAS），即S2＝S△ABC； 易證△PBD≌△CAB（AAS），∴BP=AC，即S3的底為BN=BC，高為BP=AC，∴S2＝S△ABC；易證△SEA≌△CAB（AAS），∴AS=BC，即S1的底為FA=CA，高為AS=BC，∴S2＝S△ABC?！郤1＝S2＝S3＝S△ABC。故選A。例6. （2011山東德州8分）如圖 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點O．（1）求證AD=AE；（2）連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關系并說明理由．【答案】解：（1）證明：在△ACD與△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90176。，AB=AC，∴△ACD≌△ABE（AAS）?！郃D=AE。 （2）在Rt△ADO與Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO（HL）?！唷螪AO=∠EAO。即OA是∠BAC的平分線。又∵AB=AC，∴OA⊥BC?！究键c】全等三角形的判定和性質【分析】（1）根據全等三角形AAS的判定方法，證明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE。（2）根據已知條件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判斷出OA是∠BAC的平分線，即OA⊥BC。練習題：1. （2012湖南岳陽3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90176。，沿AD折疊，使點B落在斜邊AC上，若AB=3，BC=4，則BD=　 ▲ ?。?. （2011湖北恩施3分）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為 【 】A、11 B、 C、7 D、3. （2011湖北隨州4分）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=40176。，則∠CAP=　 ▲ 　．4.（2011廣西貴港2分）如圖所示，將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個四邊形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60176。，則四邊形ABCD的面積等于_ ▲ cm2．5. （2011江蘇徐州6分）如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進行折疊: 對折、展平, 得折痕EF(如圖①)。 沿GC折疊, 使點B落在EF上的點B39。 處(如圖②)。 展平, 得折痕GC(如圖③)。 沿GH折疊, 使點C落在DH上的點C39。 處(如圖④)。 沿GC39。 折疊(如圖⑤)。 展平, 得折痕GC39。 、GH(如圖⑥)。（1） 求圖②中∠BCB39。 的大小。（2） 圖⑥中的△GCC39。 是正三角形嗎?請說明理由. 五、構造相似三角形：通過構造相似三角形，應用相似三角形對應角相等、對應邊成比例的性質，達到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012廣東深圳3分）小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)現樹的影子恰好落在地面和一斜坡上；如圖，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米．已知斜坡的坡角為300，同一時 刻，一根長為l米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為【 】 D．10米【答案】A?！究键c】解直角三角形的應用（坡度坡角問題），銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，相似三角形的判定和性質。【分析】延長AC交BF延長線于E點，則∠CFE=30176。作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30176。，CF=4，∴CE=2，EF=4cos30176。=2，在Rt△CED中，CE=2，∵同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，∴DE=4?！郆D=BF+EF+ED=12+2?！摺鱀CE∽△DAB，且CE：DE=1：2，∴在Rt△ABD中，AB=BD=。故選A。例2.（2012湖北十堰3分）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F，則EF=　 ▲ ?。敬鸢浮??！究键c】線段垂直平分線的性質，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理；．【分析】連接EC，AC、EF相交于點O?！逜C的垂直平分線EF，∴AE=EC?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠D=∠B=90176。，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC?！唷鰽OE∽△COF?！唷！逴A=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得： CE=?！咴赗t△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，∴CO=?！咴赗t△CEO中，CO=，CE=，由勾股定理得：EO=。∴EF=2EO=。例3.（2012天津市10分）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP．設BP=t．（Ⅰ）如圖①，當∠BOP=300時，求點P的坐標；（Ⅱ）如圖②，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）．【答案】解：（Ⅰ）根據題意，∠OBP=90176。，OB=6。在Rt△OBP中，由∠BOP=30176。，BP=t，得OP=2t?！逴P2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）．∴點P的坐標為（ ，6）。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC?！摺螼PB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180176。，∴∠OPB+∠QPC=90176?！摺螧OP+∠OPB=90176。，∴∠BOP=∠CPQ。又∵∠OBP=∠C=90176。，∴△OBP∽△PCQ。∴。由題意設BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11－t，CQ=6－m．∴?！啵?＜t＜11）。（Ⅲ）點P的坐標為（，6）或（，6）?！究键c】翻折變換（折疊問題），坐標與圖形性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質?！痉治觥浚á瘢└鶕}意得，∠OBP=90176。，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30176。，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案。（Ⅲ）首先過點P作PE⊥OA于E，易證得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的長，然后利用相似三角形的對應邊成比例與，即可求得t的值： 過點P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90176?！唷螾C′E+∠EPC′=90176?！摺螾C′E+∠QC′A=90176。，∴∠EPC′=∠QC′A?！唷鱌C′E∽△C′QA?！??！逷C′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m，∴?！唷！?，即，∴，即。將代入，并化簡，得。解得：。∴點P的坐標為（，6）或（，6）。例4.（2012湖南岳陽3分）如圖，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點，且AD=AB，DF∥BC，E為BD的中點．若EF⊥AC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為　 ▲ ?。敬鸢浮?5?！究键c】相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；勾股定理。【分析】如圖，過D點作DG⊥AC，垂足為G，過A點作AH⊥BC，垂足為H，∵AB=AC，點E為BD的中點，且AD=AB，∴設BE=DE=x，則AD=AF=4x?！逥G⊥AC，EF⊥AC，∴DG∥EF，∴，即，解得?！逥F∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得DF=4。又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，∴Rt△DFG∽Rt△ACH，∴，即，]解得。