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幾何輔助線作法(編輯修改稿)

2025-06-12 02:07 本頁面
 

【文章內容簡介】 h的速度沿如圖所示的BC方向航行,15min后達到C處,176。方向,求此時貨輪與A觀測點之間的距離AC的長().(參考數據:176。≈,176?!?,176?!?,176?!郑?76。≈,≈,≈)8.(2012四川樂山10分)如圖,在東西方向的海岸線l上有一長為1千米的碼頭MN,在碼頭西端M的正西方向30 千米處有一觀察站O.某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于O的北偏西30176。方向,且與O相距千米的A處;經過40分鐘,又測得該輪船位于O的正北方向,且與O相距20千米的B處.(1)求該輪船航行的速度;(2)如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行,那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸?請說明理由.(參考數據:,)四、構造全等三角形:通過構造全等三角形,應用全等三角形對應邊、角相等的性質,達到求證(解)的目的。典型例題:例1. (2012浙江紹興5分)如圖,在矩形ABCD中,點E,F分別在BC,CD上,將△ABE沿AE折疊,使點B落在AC上的點B′處,又將△CEF沿EF折疊,使點C落在EB′與AD的交點C′處.則BC:AB的值為 ▲ 。例2. (2012山東泰安3分)如圖,AB∥CD,E,F分別為AC,BD的中點,若AB=5,CD=3,則EF的長是【 】  A.4  B.3  C.2  D.1【答案】D?!究键c】三角形中位線定理,全等三角形的判定和性質?!痉治觥窟B接DE并延長交AB于H,∵CD∥AB,∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE?!逧是AC中點,∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE(AAS)?!郉E=HE,DC=AH。∵F是BD中點,∴EF是△DHB的中位線。∴EF=BH?!郆H=AB﹣AH=AB﹣DC=2?!郋F=1。故選D。例3.(2012山東德州12分)如圖所示,現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD,點P為正方形AD邊上的一點(不與點A、點D重合)將正方形紙片折疊,使點B落在P處,點C落在G處,PG交DC于H,折痕為EF,連接BP、BH.(1)求證:∠APB=∠BPH;(2)當點P在邊AD上移動時,△PDH的周長是否發(fā)生變化?并證明你的結論;(3)設AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數關系式,試問S是否存在最小值?若存在,求出這個最小值;若不存在,請說明理由.【答案】解:(1)如圖1,∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB.又∵∠EPH=∠EBC=90176。,∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP,即∠PBC=∠BPH。又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC?!唷螦PB=∠BPH。(2)△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下:如圖2,過B作BQ⊥PH,垂足為Q。由(1)知∠APB=∠BPH,又∵∠A=∠BQP=90176。,BP=BP,∴△ABP≌△QBP(AAS)?!郃P=QP,AB=BQ。又∵AB=BC,∴BC=BQ。又∵∠C=∠BQH=90176。,BH=BH,∴△BCH≌△BQH(HL)?!郈H=QH?!唷鱌HD的周長為:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。(3)如圖3,過F作FM⊥AB,垂足為M,則FM=BC=AB。又∵EF為折痕,∴EF⊥BP?!唷螮FM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176?!唷螮FM=∠ABP。又∵∠A=∠EMF=90176。,AB=ME,∴△EFM≌△BPA(ASA)。∴EM=AP=x.∴在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,即?!?。又∵四邊形PEFG與四邊形BEFC全等,∴?!撸喈攛=2時,S有最小值6。【考點】翻折變換(折疊問題),正方形的性質,折疊的性質,全等三角形的判定和性質,勾股定理,二次函數的最值?!痉治觥浚?)根據翻折變換的性質得出∠PBC=∠BPH,進而利用平行線的性質得出∠APB=∠PBC即可得出答案。(2)先由AAS證明△ABP≌△QBP,從而由HL得出△BCH≌△BQH,即可得CH=QH。因此,△PDH的周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。(3)利用已知得出△EFM≌△BPA,從而利用在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,利用二次函數的最值求出即可。例4. (2011廣西南寧3分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90186。,∠A=15186。,AB=8,則ACBC的值為【 】A.14 B.16 C.4 D.16【答案】D。【考點】全等三角形的判定和性質,銳角三角函數?!痉治觥垦娱LBC到點D,使CD=CB,連接AD,過點D作DE⊥AB,垂足為點E。則知△ACD≌△ACB,從而由已知得∠CAD=∠A=15186。,AD=AB。因此,在Rt△ADE中,AD=8,∠BAD=30186。,∴DE=ADsin30186。=4。從而S△ADE=ABDE=16,又S△ADE=BDAC=2BCAC=ACBC,即ACBC=16。例5. (2011山東濟南3分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90186。,AC>BC,分別以AB、BC、CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG,連接EF、GM、ND,設△AEF、△BND、△CGM的面積分別為SSS3,則下列結論正確的是【 】A.S1=S2=S3 B.S1=S2<S3C.S1=S3<S2 D.S2=S3<S1【答案】A?!究键c】正方形的性質,直角三角形的性質,全等三角形的判定和性質。【分析】過點D作DQ⊥MN交CB的延長線于點P,交MN的延長線于點Q; 過點E作ER⊥GF交CA的延長線于點S,交GF的延長線于點R。 易證△CGM≌△CAB(SAS),即S2=S△ABC; 易證△PBD≌△CAB(AAS),∴BP=AC,即S3的底為BN=BC,高為BP=AC,∴S2=S△ABC;易證△SEA≌△CAB(AAS),∴AS=BC,即S1的底為FA=CA,高為AS=BC,∴S2=S△ABC?!郤1=S2=S3=S△ABC。故選A。例6. (2011山東德州8分)如圖 AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE與CD相交于點O.(1)求證AD=AE;(2)連接OA,BC,試判斷直線OA,BC的關系并說明理由.【答案】解:(1)證明:在△ACD與△ABE中,∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90176。,AB=AC,∴△ACD≌△ABE(AAS)?!郃D=AE。 (2)在Rt△ADO與Rt△AEO中,∵OA=OA,AD=AE,∴△ADO≌△AEO(HL)?!唷螪AO=∠EAO。即OA是∠BAC的平分線。又∵AB=AC,∴OA⊥BC?!究键c】全等三角形的判定和性質【分析】(1)根據全等三角形AAS的判定方法,證明△ACD≌△ABE,即可得出AD=AE。(2)根據已知條件得出△ADO≌△AEO,得出∠DAO=∠EAO,即可判斷出OA是∠BAC的平分線,即OA⊥BC。練習題:1. (2012湖南岳陽3分)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90176。,沿AD折疊,使點B落在斜邊AC上,若AB=3,BC=4,則BD=  ▲ ?。?. (2011湖北恩施3分)如圖,AD是△ABC的角平分線,DF⊥AB,垂足為F,DE=DG,△ADG和△AED的面積分別為50和39,則△EDF的面積為 【 】A、11 B、 C、7 D、3. (2011湖北隨州4分)如圖,△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P,若∠BPC=40176。,則∠CAP=  ▲  .4.(2011廣西貴港2分)如圖所示,將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放,重疊部分是一個四邊形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60176。,則四邊形ABCD的面積等于_ ▲ cm2.5. (2011江蘇徐州6分)如圖,將矩形紙片ABCD按如下順序進行折疊: 對折、展平, 得折痕EF(如圖①)。 沿GC折疊, 使點B落在EF上的點B39。 處(如圖②)。 展平, 得折痕GC(如圖③)。 沿GH折疊, 使點C落在DH上的點C39。 處(如圖④)。 沿GC39。 折疊(如圖⑤)。 展平, 得折痕GC39。 、GH(如圖⑥)。(1) 求圖②中∠BCB39。 的大小。(2) 圖⑥中的△GCC39。 是正三角形嗎?請說明理由. 五、構造相似三角形:通過構造相似三角形,應用相似三角形對應角相等、對應邊成比例的性質,達到求證(解)的目的。典型例題:例1. (2012廣東深圳3分)小明想測量一棵樹的高度,他發(fā)現樹的影子恰好落在地面和一斜坡上;如圖,此時測得地面上的影長為8米,坡面上的影長為4米.已知斜坡的坡角為300,同一時 刻,一根長為l米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米,則樹的高度為【 】 D.10米【答案】A?!究键c】解直角三角形的應用(坡度坡角問題),銳角三角函數定義,特殊角的三角函數值,相似三角形的判定和性質。【分析】延長AC交BF延長線于E點,則∠CFE=30176。作CE⊥BD于E,在Rt△CFE中,∠CFE=30176。,CF=4,∴CE=2,EF=4cos30176。=2,在Rt△CED中,CE=2,∵同一時刻,一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米,∴DE=4?!郆D=BF+EF+ED=12+2?!摺鱀CE∽△DAB,且CE:DE=1:2,∴在Rt△ABD中,AB=BD=。故選A。例2.(2012湖北十堰3分)如圖,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,AC的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F,則EF=  ▲ ?。敬鸢浮??!究键c】線段垂直平分線的性質,矩形的性質,相似三角形的判定和性質,勾股定理;.【分析】連接EC,AC、EF相交于點O?!逜C的垂直平分線EF,∴AE=EC?!咚倪呅蜛BCD是矩形,∴∠D=∠B=90176。,AB=CD=2,AD=BC=4,AD∥BC?!唷鰽OE∽△COF?!唷!逴A=OC,∴OE=OF,即EF=2OE。在Rt△CED中,由勾股定理得:CE2=CD2+ED2,即CE2=(4-CE)2+22,解得: CE=?!咴赗t△ABC中,AB=2,BC=4,由勾股定理得:AC=,∴CO=?!咴赗t△CEO中,CO=,CE=,由勾股定理得:EO=。∴EF=2EO=。例3.(2012天津市10分)已知一個矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標系中,點A(11,0),點B(0,6),點P為BC邊上的動點(點P不與點B、C重合),經過點O、P折疊該紙片,得點B′和折痕OP.設BP=t.(Ⅰ)如圖①,當∠BOP=300時,求點P的坐標;(Ⅱ)如圖②,經過點P再次折疊紙片,使點C落在直線PB′上,得點C′和折痕PQ,若AQ=m,試用含有t的式子表示m;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當點C′恰好落在邊OA上時,求點P的坐標(直接寫出結果即可).【答案】解:(Ⅰ)根據題意,∠OBP=90176。,OB=6。在Rt△OBP中,由∠BOP=30176。,BP=t,得OP=2t?!逴P2=OB2+BP2,即(2t)2=62+t2,解得:t1=,t2=-(舍去).∴點P的坐標為( ,6)。(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的,∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP。∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC?!摺螼PB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180176。,∴∠OPB+∠QPC=90176?!摺螧OP+∠OPB=90176。,∴∠BOP=∠CPQ。又∵∠OBP=∠C=90176。,∴△OBP∽△PCQ。∴。由題意設BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,則PC=11-t,CQ=6-m.∴?!啵?<t<11)。(Ⅲ)點P的坐標為(,6)或(,6)?!究键c】翻折變換(折疊問題),坐標與圖形性質,全等三角形的判定和性質,勾股定理,相似三角形的判定和性質?!痉治觥浚á瘢└鶕}意得,∠OBP=90176。,OB=6,在Rt△OBP中,由∠BOP=30176。,BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理,即可得方程,解此方程即可求得答案。 (Ⅱ)由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的,可知△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP,易證得△OBP∽△PCQ,然后由相似三角形的對應邊成比例,即可求得答案。(Ⅲ)首先過點P作PE⊥OA于E,易證得△PC′E∽△C′QA,由勾股定理可求得C′Q的長,然后利用相似三角形的對應邊成比例與,即可求得t的值: 過點P作PE⊥OA于E,∴∠PEA=∠QAC′=90176?!唷螾C′E+∠EPC′=90176?!摺螾C′E+∠QC′A=90176。,∴∠EPC′=∠QC′A?!唷鱌C′E∽△C′QA?!??!逷C′=PC=11-t,PE=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6-m,∴?!唷!?,即,∴,即。將代入,并化簡,得。解得:。∴點P的坐標為(,6)或(,6)。例4.(2012湖南岳陽3分)如圖,△ABC中,AB=AC,D是AB上的一點,且AD=AB,DF∥BC,E為BD的中點.若EF⊥AC,BC=6,則四邊形DBCF的面積為  ▲ ?。敬鸢浮?5?!究键c】相似三角形的判定與性質;等腰三角形的性質;勾股定理。【分析】如圖,過D點作DG⊥AC,垂足為G,過A點作AH⊥BC,垂足為H,∵AB=AC,點E為BD的中點,且AD=AB,∴設BE=DE=x,則AD=AF=4x?!逥G⊥AC,EF⊥AC,∴DG∥EF,∴,即,解得?!逥F∥BC,∴△ADF∽△ABC,∴,即,解得DF=4。又∵DF∥BC,∴∠DFG=∠C,∴Rt△DFG∽Rt△ACH,∴,即,]解得。
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