【正文】 例5.（2012四川宜賓3分）如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，點E、F分別為AB．AD的中點，則△AEF與多邊形BCDFE的面積之比為【 】　 A． B． C． D． 【答案】C。∴∠BAC=30176。DE=1，則EF的長是【 】A．3 B．2 C． D．1【答案】B。例3.（2012黑龍江牡丹江3分）如圖．點D、E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE．請寫出圖中的全等三角形 ▲ (寫出一對即可)．【答案】△ABD≌△ACE（答案不唯一）。8.（2012黑龍江大慶6分） 如圖△ABC中，BC=3，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，若D是AC中點，∠ABC=120176。 C．55176。練習題：1. （2012江蘇泰州3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50176?！哒郫B后的與所在圓外切，∴連心線O′O″必過切點P。=。例7.（2012江西南昌12分）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時，求O′A的長度； ②如圖2，當折疊后的經(jīng)過圓心為O時，求的長度； ③如圖3，當弦AB=2時，求圓心O到弦AB的距離；（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．①如圖4，當AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點P時，設(shè)點O到弦AB．CD的距離之和為d，求d的值；②如圖5，當AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點P時，設(shè)點M為AB的中點，點N為CD的中點，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】解：（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，∴O′A=OA=2?！郋F＋2EM=AD=1，EF＋EM=，解得EF=。∴邊AB上的高線為：。 作⊙O。例4.（2012湖北鄂州3分）如下圖OA=OB=OC且∠ACB=30176。那么∠θ= ▲ ．【答案】180。設(shè)網(wǎng)格的邊長為a?？勺C得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形和三角形中位線的性質(zhì)，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形。∴GE=GA=GB=GD=BD=AE。例7. （2011山東泰安10分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90176?！郟C=4－－=2。 設(shè)DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC得3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=。（2）證明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定可得四邊形AECF是平行四邊形。∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO?！郌G＝－＝。由勾股定理得：AC＝＝?！郃F＝DF。故結(jié)論④正確?！摺螪AE=∠PEA=∠PFA=90176?！郆H=PF=3a?！郟EAB。∴NG=?！郃E=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，∠EGN=∠A=90176。將這兩張紙條交叉重疊地放在一起，重合部分為四邊形ABCD，則AB與BC的數(shù)量關(guān)系為 ▲ . 6. （2011山西省3分）如圖，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．點E是CD的中點，則AE的長是 ▲ 。【考點】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)。【分析】如圖，過D點作DG⊥AC，垂足為G，過A點作AH⊥BC，垂足為H，∵AB=AC，點E為BD的中點，且AD=AB，∴設(shè)BE=DE=x，則AD=AF=4x?！逷C′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m，∴。BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案?！唷鱋BP∽△PCQ?！逴P2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）．∴點P的坐標為（ ，6）。在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得： CE=。例2.（2012湖北十堰3分）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F，則EF=　 ▲ ?。敬鸢浮??！究键c】解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)。 折疊(如圖⑤)。則∠CAP=　 ▲ ?。?.（2011廣西貴港2分）如圖所示，將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個四邊形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60176。 （2）在Rt△ADO與Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO（HL）?！究键c】正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。BDAD＝AB。（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，從而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函數(shù)的最值求出即可?！郋M=AP=x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即?！郈H=QH。（2）△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?。∴EF=BH。典型例題：例1. （2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，將△ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B′處，又將△CEF沿EF折疊，使點C落在EB′與AD的交點C′處．則BC：AB的值為 ▲ 。方向，且其到A觀測點正北方向的距離BD的長為16km，一艘貨輪從B港口以40km/h的速度沿如圖所示的BC方向航行，15min后達到C處，176。A． B． C． D．2.（2012山東青島8分）如圖，某校教學樓AB的后面有一建筑物CD，當光線與地面的夾角是22186?！郞C=OB?tan∠CBO=6。【分析】作PD⊥AB于點D，分別在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得結(jié)論?！螧=37176?！痉治觥咳鐖D，過點O作水平地面的垂線，構(gòu)造Rt△AOE?！郑瑂in44186?！郃C=2+1+ =3+。故選D。由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。∴BC= BD=a?！郌C=DC=a，EF=AD=a?！究键c】解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理，勾股定理。若DE⊥AB，垂足為點E，則DE的長為 ▲ ．3. （2011湖北十堰8分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C為半徑OB上一點，過點C作CD⊥AB交半圓O于點D，將△ACD沿AD折疊得到△AED，AE交半圓于點F，連接DF?！摺螪EB=∠DEC=90176。AB=AC，由SAS即可證明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性質(zhì)就證明AE=AD。∴△AEB≌△ADC（SAS）。（2）連接BE?！唷螩EF＝∠FEO＝（1800－2400）247?！螧AC的平分線與AB的中垂線交于點O，∴∠OAB＝∠OAC＝25176。典型例題：例1. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50176。則∠β的度數(shù)是【 】 A、43176。AD平分∠BAC交BC于點D，若CD=4，則點D到斜邊AB的距離為　 ▲ ?。?.（2012江蘇南京8分）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點O，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點（1）求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。∵點O是AE的中點，∴ON是梯形ABCE的中位線。 （2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，從而根據(jù)等角對等邊得GD=GF；由（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。 又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）?！唷鰽ME與△AMB同底等高。 ∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，∴根據(jù)三角形中位線定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫出圖形，如右圖所示：連接AC，∵四邊形ABCD各邊中點是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC?！痉治觥孔鱁G⊥OA于F，∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15176。【分析】如圖，反向延長，形成∠4?！摺螦BC=45176。 B．25176。筆者從作輔助線的結(jié)果和方法兩方面將幾何輔助線（圖）作法歸納為結(jié)果―――（1）構(gòu)造基本圖形；（2）構(gòu)造等腰（邊）三角形：（3）構(gòu)造直角三角形；（4）構(gòu)造全等三角形；（5）構(gòu)造相似三角形；（6）構(gòu)造特殊四邊形；（7）構(gòu)造圓的特殊圖形；方法―――（8）基本輔助線；（9）截取和延長變換；（10）對稱變換；（11）平移變換；（12）旋轉(zhuǎn)變換。 輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。直接證明有困難，等量代換少麻煩。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。網(wǎng)絡(luò)上有許多初中幾何常見輔助線作法歌訣，下面這一套是很好的：人說幾何很困難，難點就在輔助線。角平分線平行線，等腰三角形來添。平行移動對角線，補成三角形常見。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。分析綜合方法選，困難再多也會減。典型例題：例1. （2012湖北襄陽3分）如圖，直線l∥m，將含有45176?！痉治觥咳鐖D，過點B作BD∥l，∵直線l∥m，∴BD∥l∥m。故選A。例3.（2012廣東梅州3分）如圖，∠AOE=∠BOE=15176?！逧G=CE=1，∴EF=21=2。 例5.（2012江蘇宿遷3分）已知點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，若AC⊥BD，且AC≠BD，則四邊形EFGH的形狀是 ▲ .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）【答案】矩形。例6.（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME．當AB=1時，△AME的面積記為S1；當AB=2時，△AME的面積記為S2；當AB=3時，△AME的面積記為S3；…；當AB=n時，△AME的面積記為Sn．當n≥2時，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ ?。敬鸢浮?。（1）求證：△ADE≌△BFE；（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說明理由?！郋G⊥DF（等腰三角形三線合一）?！嗨倪呅蜛GEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG）。在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30176。練習題：1. （2012寧夏區(qū)3分）如圖，C島在A島的北偏東45176。 C、40176。若DE⊥AB，垂足為點E，則DE的長為 ▲ ．8. （2011貴州黔東南4分）順次連接一矩形場地ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點E、F、G、H，得到四邊形EFGH，M為邊EH的中點，點P為小明在對角線EG上走動的位置，若AB=10米，BC=米，當PM+PH的和為最小值時，EP的長為 ▲ 。再利用翻折變換的性質(zhì)得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，進而求出即可：連接BO，∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分線，∴AO是BC的中垂線。＝40176?！唷螦BC=∠EFB?！摺鰽BC是等邊三角形，∴∠ACB=60176。由此可以證明EF∥DC，而DC=EF，然后即可證明四邊形EFCD是平行四邊形；（2）如圖，連接BE，由BF=EF，∠EFB=60176?！郃C∥BF?！痉治觥浚?）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC=BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB=FB，從而得到AC=BF，然后證得AC∥BF，利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形。 (2)當AB=4時，求此梯形的面積．三、構(gòu)造直角三角形：通過構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)得到一些邊角關(guān)系（勾股定理，兩銳角互余，銳角三角函數(shù)），達到求證（解）的目的。∴BD=AD=a。∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a。【考點】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理。設(shè)DN=x，則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。∵∠AEB=45176。的斜坡AB上安裝一球形雕塑，其橫截面示意圖如圖所示．已知支架AC與斜坡AB的夾角為28186。在Rt△AOE中，即，∴＋=≈（m）?！?，cos37176。=，得PB=（米）?！唷螪BO=60176。半徑OA=6，即可求得扇形OAB的面積與 的長，從而求得整個陰影部分的周長和面積?！?3.（2012湖北襄陽3分）在一次數(shù)學活動中，李明利用一根栓有小錘的細線和一個半圓形量角器制作了一個測角儀，去測量學校內(nèi)一座假山的高度CD．如圖，已知小明距假山的水平距離BD為12m，李明的視線經(jīng)過量角器零刻度線OA和假山的最高點C，此時，鉛垂線OE經(jīng)過量角器的60176。≈，176?！唷鱀CE≌△HAE（AAS）?！唷螮PH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。又∵AB=BC，∴BC=BQ?！唷螮FM=∠ABP?！痉治觥浚?）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)。從而S△ADE＝BC＝16。例6. （2011山東德州8分）如圖 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點O．（1）求證AD=AE；（2）連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關(guān)系并說明理由．【答案】解：（1）證明：在△ACD與△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90176。（2）根據(jù)已知條