【正文】 例5.（2012四川宜賓3分）如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，點(diǎn)E、F分別為AB．AD的中點(diǎn)，則△AEF與多邊形BCDFE的面積之比為【 】　 A． B． C． D． 【答案】C。∴∠BAC=30176。DE=1，則EF的長(zhǎng)是【 】A．3 B．2 C． D．1【答案】B。例3.（2012黑龍江牡丹江3分）如圖．點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE．請(qǐng)寫出圖中的全等三角形 ▲ (寫出一對(duì)即可)．【答案】△ABD≌△ACE（答案不唯一）。8.（2012黑龍江大慶6分） 如圖△ABC中，BC=3，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，若D是AC中點(diǎn)，∠ABC=120176。 C．55176。練習(xí)題：1. （2012江蘇泰州3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50176?！哒郫B后的與所在圓外切，∴連心線O′O″必過(guò)切點(diǎn)P。=。例7.（2012江西南昌12分）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時(shí)，求O′A的長(zhǎng)度； ②如圖2，當(dāng)折疊后的經(jīng)過(guò)圓心為O時(shí)，求的長(zhǎng)度； ③如圖3，當(dāng)弦AB=2時(shí)，求圓心O到弦AB的距離；（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．①如圖4，當(dāng)AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦AB．CD的距離之和為d，求d的值；②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】解：（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，∴O′A=OA=2?！郋F＋2EM=AD=1，EF＋EM=，解得EF=。∴邊AB上的高線為：。 作⊙O。例4.（2012湖北鄂州3分）如下圖OA=OB=OC且∠ACB=30176。那么∠θ= ▲ ．【答案】180。設(shè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為a?？勺C得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形和三角形中位線的性質(zhì)，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形?！郍E=GA=GB=GD=BD=AE。例7. （2011山東泰安10分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90176。∴PC=4－－=2。 設(shè)DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC得3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=。（2）證明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定可得四邊形AECF是平行四邊形?！逜D∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO?！郌G＝－＝。由勾股定理得：AC＝＝?！郃F＝DF。故結(jié)論④正確?！摺螪AE=∠PEA=∠PFA=90176?！郆H=PF=3a?！郟EAB?！郚G=?！郃E=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，∠EGN=∠A=90176。將這兩張紙條交叉重疊地放在一起，重合部分為四邊形ABCD，則AB與BC的數(shù)量關(guān)系為 ▲ . 6. （2011山西省3分）如圖，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)是 ▲ 。【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)?！痉治觥咳鐖D，過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC，垂足為G，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC，垂足為H，∵AB=AC，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，且AD=AB，∴設(shè)BE=DE=x，則AD=AF=4x。∵PC′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m，∴。BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案?！唷鱋BP∽△PCQ?！逴P2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，6）。在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得： CE=。例2.（2012湖北十堰3分）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分線EF交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，則EF=　 ▲ ?。敬鸢浮俊！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)。 折疊(如圖⑤)。則∠CAP=　 ▲ ?。?.（2011廣西貴港2分）如圖所示，將兩張等寬的長(zhǎng)方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個(gè)四邊形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60176。 （2）在Rt△ADO與Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO（HL）?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。BDAD＝AB。（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，從而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函數(shù)的最值求出即可。∴EM=AP=x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即?！郈H=QH。（2）△PHD的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?。∴EF=BH。典型例題：例1. （2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B′處，又將△CEF沿EF折疊，使點(diǎn)C落在EB′與AD的交點(diǎn)C′處．則BC：AB的值為 ▲ 。方向，且其到A觀測(cè)點(diǎn)正北方向的距離BD的長(zhǎng)為16km，一艘貨輪從B港口以40km/h的速度沿如圖所示的BC方向航行，15min后達(dá)到C處，176。A． B． C． D．2.（2012山東青島8分）如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22186。∴OC=OB?tan∠CBO=6。【分析】作PD⊥AB于點(diǎn)D，分別在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得結(jié)論?！螧=37176?！痉治觥咳鐖D，過(guò)點(diǎn)O作水平地面的垂線，構(gòu)造Rt△AOE?！?，sin44186?！郃C=2+1+ =3+。故選D。由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN?！郆C= BD=a。∴FC=DC=a，EF=AD=a。【考點(diǎn)】解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理，勾股定理。若DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為 ▲ ．3. （2011湖北十堰8分）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C為半徑OB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交半圓O于點(diǎn)D，將△ACD沿AD折疊得到△AED，AE交半圓于點(diǎn)F，連接DF?！摺螪EB=∠DEC=90176。AB=AC，由SAS即可證明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性質(zhì)就證明AE=AD。∴△AEB≌△ADC（SAS）。（2）連接BE?！唷螩EF＝∠FEO＝（1800－2400）247?！螧AC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，∴∠OAB＝∠OAC＝25176。典型例題：例1. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50176。則∠β的度數(shù)是【 】 A、43176。AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD=4，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為　 ▲ ?。?.（2012江蘇南京8分）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)（1）求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！唿c(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，∴ON是梯形ABCE的中位線。 （2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，從而根據(jù)等角對(duì)等邊得GD=GF；由（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。 又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。∴△AME與△AMB同底等高。 ∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，∴根據(jù)三角形中位線定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫出圖形，如右圖所示：連接AC，∵四邊形ABCD各邊中點(diǎn)是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC。【分析】作EG⊥OA于F，∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15176?！痉治觥咳鐖D，反向延長(zhǎng)，形成∠4。∵∠ABC=45176。 B．25176。筆者從作輔助線的結(jié)果和方法兩方面將幾何輔助線（圖）作法歸納為結(jié)果―――（1）構(gòu)造基本圖形；（2）構(gòu)造等腰（邊）三角形：（3）構(gòu)造直角三角形；（4）構(gòu)造全等三角形；（5）構(gòu)造相似三角形；（6）構(gòu)造特殊四邊形；（7）構(gòu)造圓的特殊圖形；方法―――（8）基本輔助線；（9）截取和延長(zhǎng)變換；（10）對(duì)稱變換；（11）平移變換；（12）旋轉(zhuǎn)變換。 輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。直接證明有困難，等量代換少麻煩。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。網(wǎng)絡(luò)上有許多初中幾何常見輔助線作法歌訣，下面這一套是很好的：人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。典型例題：例1. （2012湖北襄陽(yáng)3分）如圖，直線l∥m，將含有45176。【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD∥l，∵直線l∥m，∴BD∥l∥m。故選A。例3.（2012廣東梅州3分）如圖，∠AOE=∠BOE=15176?！逧G=CE=1，∴EF=21=2。 例5.（2012江蘇宿遷3分）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AC⊥BD，且AC≠BD，則四邊形EFGH的形狀是 ▲ .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）【答案】矩形。例6.（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點(diǎn)B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME．當(dāng)AB=1時(shí)，△AME的面積記為S1；當(dāng)AB=2時(shí)，△AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時(shí)，△AME的面積記為S3；…；當(dāng)AB=n時(shí)，△AME的面積記為Sn．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ ?。敬鸢浮?。（1）求證：△ADE≌△BFE；（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。∴EG⊥DF（等腰三角形三線合一）。∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG）。在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30176。練習(xí)題：1. （2012寧夏區(qū)3分）如圖，C島在A島的北偏東45176。 C、40176。若DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為 ▲ ．8. （2011貴州黔東南4分）順次連接一矩形場(chǎng)地ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)E、F、G、H，得到四邊形EFGH，M為邊EH的中點(diǎn)，點(diǎn)P為小明在對(duì)角線EG上走動(dòng)的位置，若AB=10米，BC=米，當(dāng)PM+PH的和為最小值時(shí)，EP的長(zhǎng)為 ▲ 。再利用翻折變換的性質(zhì)得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，進(jìn)而求出即可：連接BO，∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分線，∴AO是BC的中垂線。＝40176?！唷螦BC=∠EFB?！摺鰽BC是等邊三角形，∴∠ACB=60176。由此可以證明EF∥DC，而DC=EF，然后即可證明四邊形EFCD是平行四邊形；（2）如圖，連接BE，由BF=EF，∠EFB=60176?！郃C∥BF?！痉治觥浚?）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC=BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB=FB，從而得到AC=BF，然后證得AC∥BF，利用一組對(duì)邊平行且相等判定平行四邊形。 (2)當(dāng)AB=4時(shí)，求此梯形的面積．三、構(gòu)造直角三角形：通過(guò)構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)得到一些邊角關(guān)系（勾股定理，兩銳角互余，銳角三角函數(shù)），達(dá)到求證（解）的目的?！郆D=AD=a?！咴赗t△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理。設(shè)DN=x，則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x?！摺螦EB=45176。的斜坡AB上安裝一球形雕塑，其橫截面示意圖如圖所示．已知支架AC與斜坡AB的夾角為28186。在Rt△AOE中，即，∴＋=≈（m）?！郑琧os37176。=，得PB=（米）?！唷螪BO=60176。半徑OA=6，即可求得扇形OAB的面積與 的長(zhǎng)，從而求得整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)和面積?！?3.（2012湖北襄陽(yáng)3分）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，李明利用一根栓有小錘的細(xì)線和一個(gè)半圓形量角器制作了一個(gè)測(cè)角儀，去測(cè)量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD．如圖，已知小明距假山的水平距離BD為12m，李明的視線經(jīng)過(guò)量角器零刻度線OA和假山的最高點(diǎn)C，此時(shí)，鉛垂線OE經(jīng)過(guò)量角器的60176?！?，176?！唷鱀CE≌△HAE（AAS）?！唷螮PH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。又∵AB=BC，∴BC=BQ?！唷螮FM=∠ABP?！痉治觥浚?）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案。【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)。從而S△ADE＝BC＝16。例6. （2011山東德州8分）如圖 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O．（1）求證AD=AE；（2）連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】解：（1）證明：在△ACD與△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90176。（2）根據(jù)已知條