【正文】 ）．（，）8. （2011北京5分）如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且∠CBF=∠CAB．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長(zhǎng)．六、構(gòu)造特殊四邊形：通過(guò)構(gòu)造平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四邊形，應(yīng)用它們邊、角、對(duì)角線、中位線的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的?！痉治觥俊逤M＝DM，HN＝2NE，∴CM＝CD，HN＝HE＝CD，又∵△PCM∽△PHN，∴，即PH＝2CH＝2CD?！逥G⊥AC，EF⊥AC，∴DG∥EF，∴，即，解得。∴。 （Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案?！?。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP?！咴赗t△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，∴CO=?！究键c(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；．【分析】連接EC，AC、EF相交于點(diǎn)O?！痉治觥垦娱L(zhǎng)AC交BF延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，則∠CFE=30176。 展平, 得折痕GC39。則四邊形ABCD的面積等于_ ▲ cm2．5. （2011江蘇徐州6分）如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行折疊: 對(duì)折、展平, 得折痕EF(如圖①)?！唷螪AO=∠EAO?！痉治觥窟^(guò)點(diǎn)D作DQ⊥MN交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q； 過(guò)點(diǎn)E作ER⊥GF交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R。AC＝因此，在Rt△ADE中，AD＝8，∠BAD＝30186。例4. （2011廣西南寧3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90186?！唷！唷鱌HD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。證明如下：如圖2，過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q?！郆H=AB﹣AH=AB﹣DC=2。例2. （2012山東泰安3分）如圖，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，若AB=5，CD=3，則EF的長(zhǎng)是【 】　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1【答案】D。方向，求此時(shí)貨輪與A觀測(cè)點(diǎn)之間的距離AC的長(zhǎng)()．(參考數(shù)據(jù)：176。時(shí)，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面的夾角是45186?！啵嗾麄€(gè)陰影部分的周長(zhǎng)為：AC+CD+BD+==AC+OC+OB+=6+6+3π=12+3π。例7. （2012吉林省8分）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90176。在Rt△PAD中，由cos30176。解Rt△AOB，求出OA；解Rt△AOE，求出OE，即可得出雕塑最頂端到水平地面的垂直距離?！郑琧os46186?！?。例4.（2012北京市5分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積．【答案】解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC，∵∠CED=45176?！郃M=AN?！唿c(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴BE是△ACD的中位線?！郆F=a?！痉治觥糠謨煞N情況：①△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1，BE為AC邊的中線。（1）求證：DE是半圓的切線；（2）連接OD，當(dāng)OC=BC時(shí)，判斷四邊形ODFA的形狀，并證明你的結(jié)論?！唷鰾DE∽△DEC。例3.（2011上海12分）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，并延長(zhǎng)DE至F，使EF＝DE．聯(lián)結(jié)BF、CD、AC．（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形； （2）如果DE2＝BE∴AE=AD?！連F=EF，∠EFB=60176。2＝50176。∵等腰△ABC中， AB＝AC，∠BAC＝50176。．∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠CEF的度數(shù)是　 ▲ 　．【答案】50176。 B、47176。4. （2011湖南懷化3分）如圖，已知直線∥，∠1=40176?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，從而結(jié)合AG=GE，可得出結(jié)論?！帱c(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)。根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EG⊥DF。 （2）EG與DF的位置關(guān)系是EG⊥DF。∴△AME的面積=△AMB的面積。又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。∴EF=GH，EF∥GH?！摺螦OE=15176。 ∵，∴∠3=1800－∠4。∴∠3=∠ABC﹣∠4=45176。 C．30176。下面通過(guò)近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其應(yīng)用。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。輔助線，如何添？把握定理和概念。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。等腰（邊）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖形也都是基本圖形，但我們后面把它們單獨(dú)表述?！究键c(diǎn)】平行線的性質(zhì)?！唷?=∠3=20176。故選B。=30176。 故選A?！嗨倪呅蜤FGH不可能是菱形。例7.（2012江蘇鎮(zhèn)江6分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在BC邊上，且∠GDF=∠ADF。 又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。∴EF=EG=AG。在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30176。在Rt△EFO中求出FO，從而可得出FG的長(zhǎng)度。 B、60176。6. （2011廣東茂名3分）如圖，兩條筆直的公路ll2相交于點(diǎn)O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村莊C到公路l1的距離為4公里，則村莊C到公路l2的距離是【 】 A、3公里 B、4公里 C、5公里 D、6公里7. （2011遼寧遼陽(yáng)3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝60176。以及∠OBC＝∠OCB＝40176。－25176。∵∠EFB=60176?！逥C=EF，∴EB=DC。而∠EFB=60176?！郃C=BF，∠ACB=∠CBF?！究键c(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等量代換。將△ACD沿對(duì)角線AC翻折后，點(diǎn)D恰好與邊AB的中點(diǎn)M重合． (1)點(diǎn)C是否在以AB為直徑的圓上?請(qǐng)說(shuō)明理由?！咴赗t△ABD中，∠ABD=45176。作△ABC的高AD。例3. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN，連結(jié)CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為1︰4，則 的值為【 】A．2 B．4 C． D．【答案】D?！摺鰿DN的面積與△CMN的面積比為1：4，∴DN：CM=1：4。∴DC=2，HC=。例5.（2012山東萊蕪9分）某市規(guī)劃局計(jì)劃在一坡角為16186?！摺螧AE=160，∴∠OAE=280＋160=440。方向上，這時(shí)小亮與媽媽相距多少米（精確到米）？（參考數(shù)據(jù)：sin37176。在Rt△PBD中，由sin37176。∴△OBD是等邊三角形。【分析】連接OD，由折疊的性質(zhì)，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，則可得△OBD是等邊三角形，繼而求得OC的長(zhǎng)，即可求得△OBC與△BCD的面積，又由在扇形OAB中，∠AOB=90176。≈，tan22186?！?，176?！逧是AC中點(diǎn)，∴DE=EH。例3.（2012山東德州12分）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn)S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：（1）如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90176?！郃P=QP，AB=BQ?！唷螮FM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值。BC的值為【 】A．14 B．16 C．4 D．16【答案】D。＝4。BC，即AC故選A?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)全等三角形AAS的判定方法，證明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE。 展平, 得折痕GC(如圖③)。 的大小。=2，在Rt△CED中，CE=2，∵同一時(shí)刻，一根長(zhǎng)為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2米，∴DE=4。AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。例3.（2012天津市10分）已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP．設(shè)BP=t．（Ⅰ）如圖①，當(dāng)∠BOP=300時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，∠OBP=90176?！唷螼PB+∠QPC=90176。（Ⅲ）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）?！摺螾C′E+∠QC′A=90176。解得：。在Rt△ABH中，由勾股定理，得。）；（3）小紅的連衣裙穿在衣架后的總長(zhǎng)度達(dá)到122cm，垂掛在曬衣架上是否會(huì)拖落到地面？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：176?！痉治觥窟^(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于M，交BF于N?！逧是AD的中點(diǎn)，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM。例2. （2012四川德陽(yáng)3分） 如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)），如果，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為【 】A. B. C. D.【答案】D。設(shè)BD=a，∵，∴PE=AB=4a?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，相似【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作四個(gè)三角形的高，∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，∴此時(shí)兩三角形的高的和為AB，∴S1+S3=S矩形ABCD；同理可得出S2+S4=S矩形ABCD?！唷鰽PF∽△ACD。求FG的長(zhǎng)。∵BC＝2AB＝2，∴CN＝1＝AN?！啵剑獾肁G＝。由勾股定理求出AC，根據(jù)△AGB∽△CGE，得出＝＝，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根據(jù)□BDEA求出BF，即可求出答案。又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形。且AB=4，BC=3，求PC的長(zhǎng)度.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得∠CEM=∠B=900，∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。∴NP=MQ，PQ= NM=。 （3）設(shè)DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO?！嗨倪呅蜤FDG是菱形。AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連結(jié)EF．（1）證明：EF=CF；（2）當(dāng)時(shí)，求EF的長(zhǎng)．6. （四川自貢10分） 如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于點(diǎn)O，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F為垂足．設(shè)DC=m，AB=n． (1)求證：△ACB≌△BDA； (2)求四邊形DEFC的周長(zhǎng)．七、構(gòu)造圓的特殊圖形：通過(guò)構(gòu)造圓的特殊圖形，應(yīng)用圓周角定理、垂徑定理、切線與過(guò)切點(diǎn)的半（直）徑的關(guān)系、兩圓相切公切線的性質(zhì)、兩圓相交公共弦的性質(zhì)等，達(dá)到求證（解）的目的。根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等的性質(zhì)，得∠ABP=∠ABP。 ∵∠A=63176。 176。 例5.（2012天津市3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)A、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)E，以頂點(diǎn)C、D為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為 ▲ ．【答案】。同理：點(diǎn)F在DC的垂直平分線上。∵四邊形OABC是矩形，∴∠BCO=90176。=120176。根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH=PE，PG=PF。②如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可。 D．60176。則∠ACB的度數(shù)是【　　】A．80176。∴∠ABD=∠DCA（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）?！唷鰽BD≌△ACE（SSS）?！螧=∠FAB=90176?！逥E=1，∴AE=2DE