【正文】 CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．（1）求證：EB=GD；（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的長(zhǎng)．10. （2011湖南衡陽10分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PD，過點(diǎn)P作PQ⊥PD，交直線BC于點(diǎn)Q．（1）當(dāng)m=10時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合？若存在，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由；（2）連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．二、構(gòu)造等腰（邊）三角形：當(dāng)問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰（邊）三角形；出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰（邊）三角形。 C、30176。 D、20176?！?=60176。方向，在B島的北偏西25176。（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，從而可得出結(jié)論?！唷＃?）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，∴OE=OA=ON=2。又∵AG=GE，∴四邊形AGEF是菱形。例8.（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O．（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長(zhǎng)．【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF?！究键c(diǎn)】平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)。理由如下： ∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，∴∠GDF=∠BFE（等量代換）。【答案】解：（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。∴當(dāng)AB=n時(shí)，△AME的面積為，當(dāng)AB=n－1時(shí)，△AME的面積為?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，同底等高的三角形面積，整式的混合運(yùn)算?！嗨倪呅蜤FGH是矩形。【考點(diǎn)】三角形中位線定理，矩形的判定?！嗨倪呅蜤FGH是平行四邊形。例4.（2012廣東佛山3分）依次連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)特殊圖形（可認(rèn)為是一般四邊形的性質(zhì)），則這個(gè)圖形一定是【 】 A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【答案】 A。∴∠EFG=15176。EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，則EF=　 ▲ ．【答案】2。 又∵∠2=∠1＋∠4，即∠4=∠2—∠1。例2.（2012四川內(nèi)江3分）如圖，【 】A. B. C. D.【答案】B。﹣25176?！摺?=25176。 D．35176。角的三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線m上，若∠1=25176。一、構(gòu)造基本圖形：每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。圓半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來中間站。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。角平分線加垂線，三線合一試試看。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。 專業(yè)資料分享 【2013年中考攻略】專題7：幾何輔助線（圖）作法探討一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得十分復(fù)雜，若通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，即添加適當(dāng)?shù)妮o助線（圖），將原圖形轉(zhuǎn)換成一個(gè)完整的、特殊的、簡(jiǎn)單的新圖形，則能使原問題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過對(duì)新圖形的分析，原問題順利獲解。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。線段垂直平分線，常向兩端把線連。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。還要作個(gè)內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。在幾何題的證明或求解時(shí)，需要構(gòu)成一些基本圖形來求證（解）時(shí)往往要通過添加輔助線（圖）來形成，添加輔助線（圖），構(gòu)成的基本圖形是結(jié)果，構(gòu)造的手段是方法。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。則∠2的度數(shù)為【 】A．20176。【答案】A?！唷?=∠1=25176。=20176。【考點(diǎn)】平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)。 ∴?！究键c(diǎn)】角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。+15176?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，平行四邊形的判定。由于四邊形EFGH是平行四邊形，它就不可能是梯形；同時(shí)由于是任意四邊形，所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立，從而得不到矩形或菱形的判斷?！痉治觥咳鐖D，連接AC，BD。且∵AC≠BD，∴四邊形EFGH鄰邊不相等?！痉治觥窟B接BE，∵在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM?！喈?dāng)n≥2時(shí)。 ∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE。∴GD=GF（等角對(duì)等邊）?！痉治觥浚?）由已知，應(yīng)用AAS即可證明△ADE≌△BFE?！唷螮FG=∠EGF。（2）連接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N，∴ON⊥BC?！郃E=AB=4?！郌G=。 （3）根據(jù)（1）可得出AE=AB，從而在Rt△ADE中，可判斷出∠AED為30176。方向，則從C島看A、B兩島的視角∠ACB＝ ▲ 度．2.（2012浙江嘉興、舟山5分）在直角△ABC中，∠C=90176。．則∠3等于 【 】A、100176。
5. （2011湖北恩施3分）將一個(gè)直角三角板和一把直尺如圖放置，如果∠α=43176。 D、60176。通過構(gòu)造等腰（邊）三角形，應(yīng)用等腰（邊）三角形的性質(zhì)得到一些邊角相等關(guān)系，達(dá)到求證（解）的目的?！痉治觥坷萌热切蔚呐卸ㄒ约按怪逼椒志€的性質(zhì)得出∠OBC＝40176?！摺螧AC＝50176?！唷螼BC＝65176?！唿c(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。DC=EF．（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD．【答案】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60176。∵DC=EF，∴四邊形EFCD是平行四邊形?！郋B=EF，∠EBF=60176?！唷螮BF=∠ACB。【分析】（1）由△ABC是等邊三角形得到∠B=60176。而DC=EF，由此得到EB=DC，又△ABC是等邊三角形，所以得到∠ACB=60176?！咛菪蜛BCD中，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∠ACB=∠DBC∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，∠DBC=∠FBC。CE，∴?！嗨倪呅蜛BFC是矩形。練習(xí)題：1. （2011山東濰坊3分）已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則AE的長(zhǎng)為 ▲ ．2. （2011遼寧遼陽3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝60176。5. （2011廣東河源9分） 如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為 （即cosC=），則AC邊上的中線長(zhǎng)是 ▲ ．【答案】或a?！咴赗t△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a。∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，EF∥AD，∴EF是△ACD的中位線。②△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2，BE為AC邊的中線?！郆D=AD=a。綜上所述，AC邊上的中線長(zhǎng)是或a?！郈D=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN?！逜M=CM，∴四邊形AMCN是菱形。在Rt△CGN中，在Rt△MNG中，∴。又∵∠DCE=30176。BE=2，∴AB=AE=2。所對(duì)邊等于斜邊的一半得出CD的長(zhǎng)，求出AC，AB的長(zhǎng)即可得出四邊形ABCD的面積。≈，sin62186。 在Rt△AOB中，即， ∴?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義。劃行200米到達(dá)A處，接著向正南方向劃行一段時(shí)間到達(dá)B處．在B處小亮觀測(cè)媽媽所在的P處在北偏西37176?！郑?，≈）【答案】解：作PD⊥AB于點(diǎn)D，由已知得PA=200米，∠APD=30176。=200=100（米）。【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題），銳角三角函數(shù)。 根據(jù)折疊的性質(zhì)，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，∴OB=OD=BD?！摺螦OB=90176。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，弧長(zhǎng)的扇形面積的計(jì)算。tanA=，D是AC上一點(diǎn)，∠CBD=∠A，則sin∠ABD=【 】?！?，cos22186?！螦BC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)是 ▲ ，cosA的值是 ▲ ．(結(jié)果保留根號(hào))6.（2012陜西省8分）如圖，小明想用所學(xué)的知識(shí)來測(cè)量湖心島上的迎賓槐與岸上的涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭A處測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東方向，然后，他從涼亭A處沿湖岸向正東方向走了100米到B處，測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東方向（點(diǎn)A、B、C在同一水平面上）．請(qǐng)你利用小明測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，）7.（2012江蘇連云港10分）176?！郑?76。方向，且與O相距千米的A處；經(jīng)過40分鐘，又測(cè)得該輪船位于O的正北方向，且與O相距20千米的B處．（1）求該輪船航行的速度；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）四、構(gòu)造全等三角形：通過構(gòu)造全等三角形，應(yīng)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的?！痉治觥窟B接DE并延長(zhǎng)交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE?！逨是BD中點(diǎn)，∴EF是△DHB的中位線。故選D?！唷螦PB=∠BPH。BP=BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）。BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。又∵EF為折痕，∴EF⊥BP。AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。∵，∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值6。因此，△PDH的周長(zhǎng)=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。AB＝8，則AC則知△ACD≌△ACB，從而由已知得∠CAD＝∠A＝15186。sin30186。DE＝16，又S△ADE＝AC＝ACAC＞BC，分別以AB、BC、CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，連接EF、GM、ND，設(shè)△AEF、△BND、△CGM的面積分別為SSS3，則下列結(jié)論正確的是【 】A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1【答案】A?！郤1＝S2＝S3＝S△ABC?！郃D=AE。又∵AB=AC，∴OA⊥BC。沿AD折疊，使點(diǎn)B落在斜邊AC上，若AB=3，BC=4，則BD=　 ▲ ?。?. （2011湖北恩施3分）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為 【 】A、11 B、 C、7 D、3. （2011湖北隨州4分）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40176。 處(如圖②)。 沿GC39。（1） 求圖②中∠BCB39。典型例題：例1. （2012廣東深圳3分）小明想測(cè)量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上；如圖，此時(shí)測(cè)得地面上的影長(zhǎng)為8米，坡面上的影長(zhǎng)為4米．已知斜坡的坡角為300，同一時(shí) 刻，一根長(zhǎng)為l米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2米，則樹的高度為【 】 D．10米【答案】A。CF=4，∴CE=2，EF=4cos30176。故選A。∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90176?！逴A=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。∴EF=2EO=。BP=t，得OP=2t。∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180176。又∵∠OBP=∠C=90176?！啵?＜t＜11）。OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30176?！唷螾C′E+∠EPC′=90176?！?。將代入，并化簡(jiǎn)，得?！究键c(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理。又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，∴Rt△DFG∽R(shí)t△ACH，∴，即，]解得。例5. （2011山東淄博4分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC與NM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則tan∠NPH的值為 ▲ ．【答案】。練習(xí)題：1. （2012江西南昌8分）如圖1，小紅家陽臺(tái)上放置了一個(gè)曬衣架．如圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB．CD相交于點(diǎn)O，