【正文】 件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判斷出OA是∠BAC的平分線，即OA⊥BC。 沿GH折疊, 使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C39。（2） 圖⑥中的△GCC39?！郆D=BF+EF+ED=12+2?！唷鰽OE∽△COF。OB=6?！摺螧OP+∠OPB=90176?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！唷螮PC′=∠QC′A?！帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）?！唷！?，176?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90176?！逧M∥CD，∴BN：NF=BM：CM?！究键c(diǎn)】平行四邊形的判定和性質(zhì)?！郟F=PE﹣EF=3a。∴②S2+S4= S1+ S3正確，則①S1+S2=S3+S4錯(cuò)誤?！唷螾AF=∠CAD?！敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖1，連接BD、AE， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD?！唷螦CN＝∠CAN＝60176。在△BGA中，由勾股定理得：BG＝＝。例5.（2012江蘇常州7分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂直平分線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，連接AF?！郃E=AF。 ∴∠DAC=∠BCA?！郌M＞EM。又∵PQ=CQ，∴CQ=。過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB于H，則由勾股定理可得NM=，從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。 ∴△AOE∽△COF?！究键c(diǎn)】梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，菱形的判定。典型例題：例1. （2012海南省3分）如圖，點(diǎn)A、B、O是正方形網(wǎng)格上的三個(gè)格點(diǎn)，⊙O的半徑為OA，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，則的值是【 】A．1 B． C． D．【答案】A。∴。∴∠AEC=1800－2630=540?！敬鸢浮緾?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！咚倪呅蜛BCD是正方形，∴AB∥DC?！唷！嗟拈L(zhǎng)度。又∵EF=4，∴點(diǎn)O到AB．CD的距離之和d為：d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2。③如圖3，連接OA．OB，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，可得△AOB為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求折疊后求圓心O到弦AB的距離。2.（2012湖北恩施3分）如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為4cm和5cm，大圓的一條弦AB與小圓相切，則弦AB的長(zhǎng)為【 】A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm3.（2012貴州黔東南4分）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=55176。 B．110176。（2）作輔助線的意圖是構(gòu)造全等的三角形即兩個(gè)三角形的公共邊。還可得△ABE≌△ACD（SSS）。﹣30176?！摺螰AE=∠AFD=30176。 ∵DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，點(diǎn)E、F分別為AB．AD的中點(diǎn)， ∴根據(jù)三角形中位線定理，得AE。=30176。∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30176?！郆H－DH=CHEH，即BD=CE。典型例題：例2.（2012廣東佛山6分）如圖，已知AB=DC，DB=AC（1）求證：∠ABD=∠DCA，注：證明過(guò)程要求給出每一步結(jié)論成立的依據(jù)．（2）在（1）的證明過(guò)程中，需要作輔助線，它的意圖是什么？【答案】證明：（1）連接AD，在△BAD和△CDA中，∵ AB=CD （已知），DB=AC（已知）， AD=AD（公共邊），∴△BAD≌△CDA（SSS）。求圖中陰影部分面積．6.（2012青海省7分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)N，點(diǎn)M在⊙O上，∠1=∠C（1）求證：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM=，求⊙O的直徑．7.（2012廣西貴港3分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠P＝40176。 C．50176。【分析】（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，可得O′A的長(zhǎng)度?！逜B∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。+60176?！痉治觥窟B接OB，∵CN=CO，∴OB=ON=2OC。∵AE=BE，∴點(diǎn)E在AB的垂直平分線上。故選C。 176?！唷螦=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE=∠θ。根據(jù)正切函數(shù)定義，得。則下底BC 的長(zhǎng)為 ▲ .5. （2011山東棗莊10分）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90176。又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF。∴AE∥DC。 （2）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明?！逷Q∥MN，DC∥AB，∴四邊形NMQP是平行四邊形?！嗨倪呅蜯FNE是平行四邊形。例6.（2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點(diǎn)B、D分別落在對(duì)角線BC上的點(diǎn)E、F處，折痕分別為CM、AN.（1）求證：△AND≌△CBM.（2）請(qǐng)連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由？（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點(diǎn)，連結(jié)PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN?！嗨倪呅蜛ECF是平行四邊形。（2）在BC上截取BN＝AB＝1，連接AN，推出△ANB是等邊三角形，求出CN＝1＝AN，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC＝90176?！啵剑健！郃N＝1＝BN，∠ANB＝∠BAN＝60176。（1）求證：AF＝DF；（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60176?！郟F：CD =PE ：BC=AP：AC，即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。例3.（2012安徽省5分）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是SSSS4，給出如下結(jié)論： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，則S4=2 S2 ④若S1= S2，則P點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上其中正確的結(jié)論的序號(hào)是 ▲ （把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）.【答案】②④?！郟，E，F(xiàn)共線。故選B?！郚G=NM?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)和判定，折疊對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。練習(xí)題：1. （2012江西南昌8分）如圖1，小紅家陽(yáng)臺(tái)上放置了一個(gè)曬衣架．如圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB．CD相交于點(diǎn)O，B．D兩點(diǎn)立于地面，經(jīng)測(cè)量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開(kāi)，扣鏈EF成一條直線，且EF=32cm．（1）求證：AC∥BD；（2）求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)（176。又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，∴Rt△DFG∽R(shí)t△ACH，∴，即，]解得。將代入，并化簡(jiǎn)，得?！唷螾C′E+∠EPC′=90176。∴（0＜t＜11）?！摺螼PB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180176?！郋F=2EO=?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠D=∠B=90176。CF=4，∴CE=2，EF=4cos30176。（1） 求圖②中∠BCB39。 處(如圖②)。又∵AB=AC，∴OA⊥BC?！郤1＝S2＝S3＝S△ABC。AC＝ACsin30186。AB＝8，則AC∵，∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值6。又∵EF為折痕，∴EF⊥BP。BP=BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）。故選D。【分析】連接DE并延長(zhǎng)交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE?！?，176?！?，cos22186?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，弧長(zhǎng)的扇形面積的計(jì)算。 根據(jù)折疊的性質(zhì)，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，∴OB=OD=BD。=200=100（米）。劃行200米到達(dá)A處，接著向正南方向劃行一段時(shí)間到達(dá)B處．在B處小亮觀測(cè)媽媽所在的P處在北偏西37176。 在Rt△AOB中，即， ∴。所對(duì)邊等于斜邊的一半得出CD的長(zhǎng)，求出AC，AB的長(zhǎng)即可得出四邊形ABCD的面積。又∵∠DCE=30176?！逜M=CM，∴四邊形AMCN是菱形。綜上所述，AC邊上的中線長(zhǎng)是或a。②△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2，BE為AC邊的中線?！咴赗t△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a。5. （2011廣東河源9分） 如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC?！嗨倪呅蜛BFC是矩形?！咛菪蜛BCD中，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∠ACB=∠DBC∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，∠DBC=∠FBC。【分析】（1）由△ABC是等邊三角形得到∠B=60176?！郋B=EF，∠EBF=60176。DC=EF．（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD．【答案】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60176?！唷螼BC＝65176?！痉治觥坷萌热切蔚呐卸ㄒ约按怪逼椒志€的性質(zhì)得出∠OBC＝40176。 D、60176。．則∠3等于 【 】A、100176。 （3）根據(jù)（1）可得出AE=AB，從而在Rt△ADE中，可判斷出∠AED為30176?！郃E=AB=4?！唷螮FG=∠EGF?！郍D=GF（等角對(duì)等邊）?！喈?dāng)n≥2時(shí)。且∵AC≠BD，∴四邊形EFGH鄰邊不相等。由于四邊形EFGH是平行四邊形，它就不可能是梯形；同時(shí)由于是任意四邊形，所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立，從而得不到矩形或菱形的判斷。+15176。 ∴。=20176?！敬鸢浮緼。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。還要作個(gè)內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心等分點(diǎn)。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。圓半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。一、構(gòu)造基本圖形：每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形。 D．35176。﹣25176。 又∵∠2=∠1＋∠4，即∠4=∠2—∠1?！唷螮FG=15176?！嗨倪呅蜤FGH是平行四邊形?！嗨倪呅蜤FGH是矩形?！喈?dāng)AB=n時(shí)，△AME的面積為，當(dāng)AB=n－1時(shí)，△AME的面積為。理由如下： ∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，∴∠GDF=∠BFE（等量代換）。例8.（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O．（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長(zhǎng)．【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。（3）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，∴OE=OA=ON=2。（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，從而可得出結(jié)論?！?=60176。 C、30176?！究键c(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)?！唷螦BC＝∠ACB＝65176。例2.（2012甘肅白銀10分）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、F分別在線段BC、AB上，∠EFB=60176。∴△EFB是等邊三角形。【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，平行的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)。CE，求證四邊形ABFC是矩形． 【答案】解：（1）證明：連接BD。∴∠CDE=∠DBE，∴∠BFC=∠BDC=∠BDE＋∠CDE=∠BDE＋∠DBE=90176。4. （2011四川巴中10分） 如圖所示，△ABC的外接圓圓心O在AB上，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND邊的中線． (1)求證：△ABC≌△DNC； (2)試判斷CP與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。作△ABC的高AD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F。在Rt△BEF中，由勾股定理，得?！郆E=AD=a?！郃M=CM，∴四邊形AMCN是平行四邊形。DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1?！究键c(diǎn)】勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出EH=DH=1，進(jìn)而得出再利用直角三角形中30176?！?．【答案】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作水平地面的垂線，垂足為點(diǎn)E。例6.（2012山東聊城7分）周末，小亮一家在東昌湖游玩，媽媽在湖心島岸邊P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船（如圖）．小船從P處出發(fā)，沿北偏東60176。=，得PD=PAcos30176。半徑OA=6．將扇形OAB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在 上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，求整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)和面積．【答案】解：連接OD。整個(gè)陰影部分的面積為：。時(shí)，教學(xué)樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13m的距離(B、F、C在一