【正文】 ∵DE=1，∴AE=2DE=2。∴△ABD≌△ACE（SSS）。則∠ACB的度數(shù)是【　　】A．80176。②如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可。=120176。同理：點(diǎn)F在DC的垂直平分線上。 176。根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等的性質(zhì)，得∠ABP=∠ABP?！嗨倪呅蜤FDG是菱形。 （3）設(shè)DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得∠CEM=∠B=900，∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形?！啵?，解得AG＝。求FG的長(zhǎng)?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，相似【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作四個(gè)三角形的高，∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，∴此時(shí)兩三角形的高的和為AB，∴S1+S3=S矩形ABCD；同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。例2. （2012四川德陽(yáng)3分） 如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)），如果，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為【 】A. B. C. D.【答案】D?！痉治觥窟^(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于M，交BF于N。在Rt△ABH中，由勾股定理，得?！摺螾C′E+∠QC′A=90176?！唷螼PB+∠QPC=90176。AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。 的大小?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)全等三角形AAS的判定方法，證明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE。BC，即ACBC的值為【 】A．14 B．16 C．4 D．16【答案】D?！唷螮FM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176。例3.（2012山東德州12分）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn)S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：（1）如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90176?！?，176?！痉治觥窟B接OD，由折疊的性質(zhì)，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，則可得△OBD是等邊三角形，繼而求得OC的長(zhǎng)，即可求得△OBC與△BCD的面積，又由在扇形OAB中，∠AOB=90176。在Rt△PBD中，由sin37176?！摺螧AE=160，∴∠OAE=280＋160=440?！郉C=2，HC=。例3. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN，連結(jié)CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為1︰4，則 的值為【 】A．2 B．4 C． D．【答案】D?！咴赗t△ABD中，∠ABD=45176?！究键c(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等量代換。而∠EFB=60176。∵∠EFB=60176。以及∠OBC＝∠OCB＝40176。 B、60176。在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30176。 又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。∴四邊形EFGH不可能是菱形。=30176?！唷?=∠3=20176。等腰（邊）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖形也都是基本圖形，但我們后面把它們單獨(dú)表述。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。梯形里面作高線，平移一腰試試看。輔助線，如何添？把握定理和概念。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。 C．30176。 ∵，∴∠3=1800－∠4。∴EF=GH，EF∥GH?！唷鰽ME的面積=△AMB的面積。根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EG⊥DF。【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，從而結(jié)合AG=GE，可得出結(jié)論。 B、47176?！叩妊鰽BC中， AB＝AC，∠BAC＝50176。∵BF=EF，∠EFB=60176。例3.（2011上海12分）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，并延長(zhǎng)DE至F，使EF＝DE．聯(lián)結(jié)BF、CD、AC．（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形； （2）如果DE2＝BE（1）求證：DE是半圓的切線；（2）連接OD，當(dāng)OC=BC時(shí)，判斷四邊形ODFA的形狀，并證明你的結(jié)論。∴BF=a。∴AM=AN。∴ 。解Rt△AOB，求出OA；解Rt△AOE，求出OE，即可得出雕塑最頂端到水平地面的垂直距離。例7. （2012吉林省8分）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90176。時(shí)，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面的夾角是45186。例2. （2012山東泰安3分）如圖，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，若AB=5，CD=3，則EF的長(zhǎng)是【 】　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1【答案】D。證明如下：如圖2，過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q?！?。因此，在Rt△ADE中，AD＝8，∠BAD＝30186?！痉治觥窟^(guò)點(diǎn)D作DQ⊥MN交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q； 過(guò)點(diǎn)E作ER⊥GF交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R。則四邊形ABCD的面積等于_ ▲ cm2．5. （2011江蘇徐州6分）如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行折疊: 對(duì)折、展平, 得折痕EF(如圖①)?！痉治觥垦娱L(zhǎng)AC交BF延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，則∠CFE=30176?！咴赗t△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，∴CO=?！??！唷！痉治觥俊逤M＝DM，HN＝2NE，∴CM＝CD，HN＝HE＝CD，又∵△PCM∽△PHN，∴，即PH＝2CH＝2CD?！郋G=BM。∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴EFBD?！嗨倪呅蜛EPF是矩形，∴矩形AEPF∽矩形ABCD。（2）如圖2，在BC上截取BN＝AB＝1，連接AN， ∵∠ABC＝60176?！究键c(diǎn)】平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形中位線定理，勾股定理。由EF⊥AC，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形的判定得平行四邊形AECF是菱形。過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB于H，則HM=4－3=1。BC=2AD，E是BC的中點(diǎn)，連接AE、AC．（1）點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)，連接EF，交AC于點(diǎn)O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；（2）若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接BD，交AE與點(diǎn)G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．【答案】解：（1）證明：∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD。練習(xí)題：1. （2012廣東深圳3分）如圖，Rt△ABC中，C= 90o，以斜邊AB為邊向外作正方形 ABDE，且正方形對(duì)角線交于點(diǎn)D，連接OC，已知AC=5，OC=6，則另一直角邊BC的長(zhǎng)為 ▲ ．2.（2012內(nèi)蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，則梯形的面積是【 】A．25 B．50 C． D．3.（2012江蘇南通3分）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90186?！究键c(diǎn)】等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角定理。 ∵ ∠ACB和∠AOB是同弧所對(duì)的圓周角和圓心角，且∠ACB=30176。例6.（2012廣西玉林、防城港3分）如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當(dāng)CN=CO時(shí)，∠NMB的度數(shù)是 ▲ .【答案】30176?！鄨A心O到弦AB的距離為。則∠OCD的度數(shù)是【 】A．40176。. （1）求∠ACB的大小； （2）求點(diǎn)A到直線BC的距離．9.（2012山東泰安3分）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，若∠ABC=120176?！究键c(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定。【考點(diǎn)】直角梯形的性質(zhì)，三角形的面積，三角形中位線定理?！摺螦CB=90176?！痉治觥浚?）連接AD，證明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到結(jié)論；（2）作輔助線的意圖是構(gòu)造全等的三角形。 B．45176。證明如下：設(shè)O′，O″為和所在圓的圓心，∵點(diǎn)O′與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱，點(diǎn)O″于點(diǎn)O關(guān)于CD對(duì)稱，∴點(diǎn)M為的OO′中點(diǎn)，點(diǎn)N為OO″的中點(diǎn)。∴∠NMB=∠BOC=30176。∵以頂點(diǎn)A、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)E，AB=1，∴AB=AE=BE，∴△AEB是等邊三角形。∴∠θ=180?！痉治觥咳鐖D，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)P1，連接AB，BP1?！嗨倪呅蜛BED是矩形?！郚P=MQ=。 ∴△AND≌△CBM（ASA）。【答案】證明：連接CE?！唷螧AC＝90176?！郟點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上?！逷F∥AB，∴四邊形BFPH是平行四邊形?！郚M=CF=?！?；可使用科學(xué)記算器）2. （2011山東淄博4分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE，垂足為G，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)F，則CF= ▲ ．3. （2011廣東深圳3分）如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn)，則AD：BE的值為【 】A. :1 B. :1 :3 4. （2011廣西北海3分）如圖，△ABC的面積為63，D是BC上的一點(diǎn)，且BD∶CD＝2∶1，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE到F，使FE∶ED＝2∶1，則△CDF的面積為 ▲ ．5. （2011湖北黃石3分）有甲、乙兩張紙條，甲紙條的寬是乙紙條寬的2倍，如圖。【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理。OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30176。BP=t，得OP=2t。故選A。 沿GC39?！郃D=AE。DE＝16，又S△ADE＝因此，△PDH的周長(zhǎng)=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）?！逨是BD中點(diǎn)，∴EF是△DHB的中位線?！螦BC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)是 ▲ ，cosA的值是 ▲ ．(結(jié)果保留根號(hào))6.（2012陜西省8分）如圖，小明想用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量湖心島上的迎賓槐與岸上的涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭A處測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東方向，然后，他從涼亭A處沿湖岸向正東方向走了100米到B處，測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東方向（點(diǎn)A、B、C在同一水平面上）．請(qǐng)你利用小明測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，）7.（2012江蘇連云港10分）176。∵∠AOB=90176?！郑?，≈）【答案】解：作PD⊥AB于點(diǎn)D，由已知得PA=200米，∠APD=30176?！?，sin62186。在Rt△CGN中，在Rt△MNG中，∴?！郆D=AD=a。角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為 （即cosC=），則AC邊上的中線長(zhǎng)是 ▲ ．【答案】或a。CE，∴。∴∠EBF=∠ACB。∵點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。通過(guò)構(gòu)造等腰（邊）三角形，應(yīng)用等腰（邊）三角形的性質(zhì)得到一些邊角相等關(guān)系，達(dá)到求證（解）的目的。方向，則從C島看A、B兩島的視角∠ACB＝ ▲ 度．2.（2012浙江嘉興、舟山5分）在直角△ABC中，∠C=90176。（2）連接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N，∴ON⊥BC。 ∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE?！痉治觥咳鐖D，連接AC，BD?！究键c(diǎn)】角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。∴∠4=∠1=25176。在幾何題的證明或求解時(shí)，需要構(gòu)成一些基本圖形來(lái)求證（解）時(shí)往往要通過(guò)添加輔助線（圖）來(lái)形成，添加輔助線（圖），構(gòu)成的基本圖形是結(jié)果，構(gòu)造的手段是方法?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。線段垂直平分線，常向兩端把線連。角平分線加垂線，三線合一試試看。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。∵∠1=25176。EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，則EF=　 ▲ ．【答案】2。【考點(diǎn)】三角形中位線定理，矩形的判定。【答案】解：（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。又∵AG=GE，∴四邊形AGEF是菱形。方向，在B島的北偏西25176。9. （2011廣西玉林、防城港10分