【正文】 在Rt△ABH中，由勾股定理，得?！唷Ｓ帧摺鰽DF∽△ABC，∴，∴∴。例5. （2011山東淄博4分）如圖，正方體的棱長為3，點M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC與NM的延長線交于點P，則tan∠NPH的值為 ▲ ．【答案】?！究键c】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)。【分析】∵CM＝DM，HN＝2NE，∴CM＝CD，HN＝HE＝CD，又∵△PCM∽△PHN，∴，即PH＝2CH＝2CD。∴tan∠NPH＝。練習題：1. （2012江西南昌8分）如圖1，小紅家陽臺上放置了一個曬衣架．如圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB．CD相交于點O，B．D兩點立于地面，經(jīng)測量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條直線，且EF=32cm．（1）求證：AC∥BD；（2）求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)（176。）；（3）小紅的連衣裙穿在衣架后的總長度達到122cm，垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：176。≈，176?！?，176?！郑豢墒褂每茖W記算器）2. （2011山東淄博4分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC邊的中點，過點B作BG⊥AE，垂足為G，延長BG交AC于點F，則CF= ▲ ．3. （2011廣東深圳3分）如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點，則AD：BE的值為【 】A. :1 B. :1 :3 4. （2011廣西北海3分）如圖，△ABC的面積為63，D是BC上的一點，且BD∶CD＝2∶1，DE∥AC交AB于點E，延長DE到F，使FE∶ED＝2∶1，則△CDF的面積為 ▲ ．5. （2011湖北黃石3分）有甲、乙兩張紙條，甲紙條的寬是乙紙條寬的2倍，如圖。將這兩張紙條交叉重疊地放在一起，重合部分為四邊形ABCD，則AB與BC的數(shù)量關系為 ▲ . 6. （2011山西省3分）如圖，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．點E是CD的中點，則AE的長是 ▲ 。7. （2011陜西省8分）一天，數(shù)學課外活動小組的同學們，帶著皮尺去測量某河道因挖沙形成的“圓錐形坑”的深度，來評估這些坑道對河道的影響，如圖是同學們選擇（確保測量過程中無安全隱患）的測量對象，測量方案如下：①；②甲同學直立于沙坑坑沿的圓周所在的平面上，經(jīng)過適當調(diào)整自己所處的位置，當他位于B時恰好他的視線經(jīng)過沙坑坑沿圓周上一點A看到坑底S（甲同學的視線起點C與點A，點S三點共線），經(jīng)測量：AB=，BC=．根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，求圓錐形坑的深度（圓錐的高）．（，）8. （2011北京5分）如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=∠CAB．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．六、構造特殊四邊形：通過構造平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四邊形，應用它們邊、角、對角線、中位線的性質(zhì)，達到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012貴州遵義3分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于F點，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長為【 】A． B． C． D．【答案】B。【考點】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)和判定，折疊對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟^點E作EM⊥BC于M，交BF于N?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90176。，AD=BC，∵∠EMB=90176。，∴四邊形ABME是矩形?！郃E=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，∠EGN=∠A=90176。，∴EG=BM?！摺螮NG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）?！郚G=NM?！逧是AD的中點，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM?！逧M∥CD，∴BN：NF=BM：CM?！郆N=NF?！郚M=CF=?！郚G=。∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣。∴BF=2BN=5∴。故選B。例2. （2012四川德陽3分） 如圖，點D是△ABC的邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不與點B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點P、E在直線AB的同側(cè)），如果，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為【 】A. B. C. D.【答案】D?！究键c】平行四邊形的判定和性質(zhì)。【分析】過點P作PH∥BC交AB于H，連接CH，PF，PE?！逜PBE，∴四邊形APEB是平行四邊形?！郟EAB。，∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴EFBD。∴EF∥AB?！郟，E，F(xiàn)共線。設BD=a，∵，∴PE=AB=4a?！郟F=PE﹣EF=3a。∵PH∥BC，∴S△HBC=S△PBC?！逷F∥AB，∴四邊形BFPH是平行四邊形?！郆H=PF=3a?！逽△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4。故選D。例3.（2012安徽省5分）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設它們的面積分別是SSSS4，給出如下結論： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，則S4=2 S2 ④若S1= S2，則P點在矩形的對角線上其中正確的結論的序號是 ▲ （把所有正確結論的序號都填在橫線上）.【答案】②④?！究键c】矩形的性質(zhì)，相似【分析】如圖，過點P分別作四個三角形的高，∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，∴此時兩三角形的高的和為AB，∴S1+S3=S矩形ABCD；同理可得出S2+S4=S矩形ABCD?！啖赟2+S4= S1+ S3正確，則①S1+S2=S3+S4錯誤。若S3=2 S1，只能得出△APD與△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故結論③錯誤。如圖，若S1=S2，則PFAD=PEAB，∴△APD與△PBA高度之比為：PF：PE =AB：AD ?！摺螪AE=∠PEA=∠PFA=90176。，∴四邊形AEPF是矩形，∴矩形AEPF∽矩形ABCD。連接AC。∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC，即PF：CD =AF ：AD=AP：AC?！唷鰽PF∽△ACD?！唷螾AF=∠CAD?！帱cA、P、C共線?！郟點在矩形的對角線上。故結論④正確。綜上所述，結論②和④正確。例4.（2012廣西貴港8分）如圖，在□ABCD中，延長CD到E，使DE＝CD，連接BE交AD于點F，交AC于點G。（1）求證：AF＝DF；（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60176。，求FG的長?！敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖1，連接BD、AE， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD?！逥E＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE?！嗨倪呅蜛BDE是平行四邊形?！郃F＝DF。（2）如圖2，在BC上截取BN＝AB＝1，連接AN， ∵∠ABC＝60176。，∴△ANB是等邊三角形。∴AN＝1＝BN，∠ANB＝∠BAN＝60176。∵BC＝2AB＝2，∴CN＝1＝AN?！唷螦CN＝∠CAN＝60176。＝30176。∴∠BAC＝90176。由勾股定理得：AC＝＝?！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴AB∥CD?！唷鰽GB∽△CGE?！啵剑健！啵剑獾肁G＝。在△BGA中，由勾股定理得：BG＝＝?！撸?，∴GE＝，BE＝＋＝2?！咚倪呅蜛BDE是平行四邊形，∴BF＝BE＝。∴FG＝－＝。【考點】平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥浚?）連接AE、BD、根據(jù)AB∥CD，AB＝CD＝DE，得出平行四邊形ABDE，即可推出答案。（2）在BC上截取BN＝AB＝1，連接AN，推出△ANB是等邊三角形，求出CN＝1＝AN，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC＝90176。，由勾股定理求出AC，根據(jù)△AGB∽△CGE，得出＝＝，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根據(jù)□BDEA求出BF，即可求出答案。例5.（2012江蘇常州7分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂直平分線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF。求證：AE=AF?！敬鸢浮孔C明：連接CE?！逜D∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO。 又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。∴AE=CF?！嗨倪呅蜛ECF是平行四邊形。又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形?！郃E=AF?！究键c】菱形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】由已知，根據(jù)AAS可證得△AEO≌△CFO，從而得AE=CF。根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定可得四邊形AECF是平行四邊形。由EF⊥AC，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形的判定得平行四邊形AECF是菱形。根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)和AE=AF。例6.（2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN.（1）求證：△AND≌△CBM.（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由？（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連結PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的長度.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。 ∴∠DAC=∠BCA。 又由翻折的性質(zhì)，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。 ∴△AND≌△CBM（ASA）。（2）證明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。 又由翻折的性質(zhì)，得DN=FN，BM=EM， ∴FN=EM。 又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC， ∴FN∥EM。∴四邊形MFNE是平行四邊形。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得∠CEM=∠B=900，∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM?！郌M＞EM?！嗨倪呅蜯FNE不是菱形。（3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。 設DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC得3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=。過點N作NH⊥AB于H，則HM=4－3=1。在△NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=?！逷Q∥MN，DC∥AB，∴四邊形NMQP是平行四邊形。∴NP=MQ，PQ= NM=。又∵PQ=CQ，∴CQ=。在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。∴NP=MQ=?！郟C=4－－=2?！究键c】翻折問題，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。【分析】（1）由矩形和翻折對稱的性質(zhì)，用ASA即可得到△AND≌△CBM。 （2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。 （3）設DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。過點N作NH⊥AB于H，則由勾股定理可得NM=，從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在△CBQ中，應用勾股定理求得BQ=1。從而求解。例7. （2011山東泰安10分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90176。，BC=2AD，E是BC的中點，連接AE、AC．（1）點F是DC上一點，連接EF，交AC于點O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；（2）若點F是DC的中點，連接BD，交AE與點G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．【答案】解：（1）證明：∵點E是BC的中點，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD。又∵AD∥DC，∴四邊形AECD為平行四邊形?！郃E∥DC?！唷螦EO=∠CFO，∠EAO=∠FCO。 ∴△AOE∽△COF。（2）證明：連接DE，∵AD平行且等于BE，∴四邊形ABED是平行四邊形， 又∠ABE=90176。，∴四邊形ABED是矩形?！郍E=GA=GB=GD=BD=AE。∵E、F分別是BC、CD的中點，∴EF、GE是△CBD的兩條中線?！郋F=BD=GD，GE=CD=DF。又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF?！嗨倪呅蜤FDG是菱形?！究键c】梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，菱形的判定?！痉治觥浚?）由點E是BC的中點，BC=2AD，可證得四邊形AECD為平行四邊形，即可得△AOE∽△COF。（2）連接DE，易得四邊形ABED是平行四邊形，又由∠ABE=90176。，可證得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形和三角形中位線的性質(zhì)，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形。練習題：1. （2012廣東深圳3分）如圖，Rt△ABC中，C= 90o，以斜邊AB為邊向外作正方形 ABDE，且正方形對角線交于點D