【正文】 176。AB=AC，由SAS即可證明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性質就證明AE=AD?！郃C=BF，∠ACB=∠CBF?！摺螪EB=∠DEC=90176?！究键c】等腰梯形的性質，平行四邊形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，矩形的判定，等量代換。若DE⊥AB，垂足為點E，則DE的長為 ▲ ．3. （2011湖北十堰8分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C為半徑OB上一點，過點C作CD⊥AB交半圓O于點D，將△ACD沿AD折疊得到△AED，AE交半圓于點F，連接DF。將△ACD沿對角線AC翻折后，點D恰好與邊AB的中點M重合． (1)點C是否在以AB為直徑的圓上?請說明理由?！究键c】解直角三角形，銳角三角函數定義，三角形中位線定理，勾股定理?！咴赗t△ABD中，∠ABD=45176?！郌C=DC=a，EF=AD=a。作△ABC的高AD?！郆C= BD=a。例3. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連結CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為1︰4，則 的值為【 】A．2 B．4 C． D．【答案】D。由折疊的性質可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN?！摺鰿DN的面積與△CMN的面積比為1：4，∴DN：CM=1：4。故選D?！郉C=2，HC=?！郃C=2+1+ =3+。例5.（2012山東萊蕪9分）某市規(guī)劃局計劃在一坡角為16186?！?，sin44186。∵∠BAE=160，∴∠OAE=280＋160=440?！痉治觥咳鐖D，過點O作水平地面的垂線，構造Rt△AOE。方向上，這時小亮與媽媽相距多少米（精確到米）？（參考數據：sin37176?！螧=37176。在Rt△PBD中，由sin37176?！痉治觥孔鱌D⊥AB于點D，分別在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得結論?！唷鱋BD是等邊三角形。∴OC=OB?tan∠CBO=6?！痉治觥窟B接OD，由折疊的性質，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，則可得△OBD是等邊三角形，繼而求得OC的長，即可求得△OBC與△BCD的面積，又由在扇形OAB中，∠AOB=90176。A． B． C． D．2.（2012山東青島8分）如圖，某校教學樓AB的后面有一建筑物CD，當光線與地面的夾角是22186?！郑瑃an22186。方向，且其到A觀測點正北方向的距離BD的長為16km，一艘貨輪從B港口以40km/h的速度沿如圖所示的BC方向航行，15min后達到C處，176?！郑?76。典型例題：例1. （2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，將△ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B′處，又將△CEF沿EF折疊，使點C落在EB′與AD的交點C′處．則BC：AB的值為 ▲ 。∵E是AC中點，∴DE=EH?！郋F=BH。例3.（2012山東德州12分）如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論；（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90176。（2）△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ??！郃P=QP，AB=BQ?！郈H=QH?！唷螮FM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176?！郋M=AP=x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。【考點】翻折變換（折疊問題），正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，二次函數的最值。（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，從而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函數的最值求出即可。BC的值為【 】A．14 B．16 C．4 D．16【答案】D。AD＝AB。＝4。BDBC，即AC【考點】正方形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質。故選A。 （2）在Rt△ADO與Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO（HL）?！究键c】全等三角形的判定和性質【分析】（1）根據全等三角形AAS的判定方法，證明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE。則∠CAP=　 ▲ ?。?.（2011廣西貴港2分）如圖所示，將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個四邊形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60176。 展平, 得折痕GC(如圖③)。 折疊(如圖⑤)。 的大小。【考點】解直角三角形的應用（坡度坡角問題），銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，相似三角形的判定和性質。=2，在Rt△CED中，CE=2，∵同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，∴DE=4。例2.（2012湖北十堰3分）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F，則EF=　 ▲ 　．【答案】。AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得： CE=。例3.（2012天津市10分）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP．設BP=t．（Ⅰ）如圖①，當∠BOP=300時，求點P的坐標；（Ⅱ）如圖②，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）．【答案】解：（Ⅰ）根據題意，∠OBP=90176?！逴P2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）．∴點P的坐標為（ ，6）?！唷螼PB+∠QPC=90176?！唷鱋BP∽△PCQ。（Ⅲ）點P的坐標為（，6）或（，6）。BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。∵∠PC′E+∠QC′A=90176?！逷C′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m，∴。解得：。【分析】如圖，過D點作DG⊥AC，垂足為G，過A點作AH⊥BC，垂足為H，∵AB=AC，點E為BD的中點，且AD=AB，∴設BE=DE=x，則AD=AF=4x。在Rt△ABH中，由勾股定理，得?！究键c】正方形的性質，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數。）；（3）小紅的連衣裙穿在衣架后的總長度達到122cm，垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由．（參考數據：176。將這兩張紙條交叉重疊地放在一起，重合部分為四邊形ABCD，則AB與BC的數量關系為 ▲ . 6. （2011山西省3分）如圖，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．點E是CD的中點，則AE的長是 ▲ ?！痉治觥窟^點E作EM⊥BC于M，交BF于N?！郃E=BM，由折疊的性質得：AE=GE，∠EGN=∠A=90176?！逧是AD的中點，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM?！郚G=。例2. （2012四川德陽3分） 如圖，點D是△ABC的邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不與點B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點P、E在直線AB的同側），如果，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為【 】A. B. C. D.【答案】D?！郟EAB。設BD=a，∵，∴PE=AB=4a?！郆H=PF=3a?！究键c】矩形的性質，相似【分析】如圖，過點P分別作四個三角形的高，∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，∴此時兩三角形的高的和為AB，∴S1+S3=S矩形ABCD；同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90176。∴△APF∽△ACD。故結論④正確。求FG的長?！郃F＝DF?！連C＝2AB＝2，∴CN＝1＝AN。由勾股定理得：AC＝＝?！啵?，解得AG＝。∴FG＝－＝。由勾股定理求出AC，根據△AGB∽△CGE，得出＝＝，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根據□BDEA求出BF，即可求出答案。∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO。又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形。根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定可得四邊形AECF是平行四邊形。且AB=4，BC=3，求PC的長度.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。（2）證明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質，得∠CEM=∠B=900，∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。 設DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC得3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=?！郚P=MQ，PQ= NM=?！郟C=4－－=2。 （3）設DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。例7. （2011山東泰安10分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90176。∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO?！郍E=GA=GB=GD=BD=AE。∴四邊形EFDG是菱形。可證得四邊形ABED是矩形，根據矩形和三角形中位線的性質，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形。AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連結EF．（1）證明：EF=CF；（2）當時，求EF的長．6. （四川自貢10分） 如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于點O，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F為垂足．設DC=m，AB=n． (1)求證：△ACB≌△BDA； (2)求四邊形DEFC的周長．七、構造圓的特殊圖形：通過構造圓的特殊圖形，應用圓周角定理、垂徑定理、切線與過切點的半（直）徑的關系、兩圓相切公切線的性質、兩圓相交公共弦的性質等，達到求證（解）的目的。設網格的邊長為a。根據同弧所對圓周角相等的性質，得∠ABP=∠ABP。那么∠θ= ▲ ．【答案】180。 ∵∠A=63176。例4.（2012湖北鄂州3分）如下圖OA=OB=OC且∠ACB=30176。 176。 作⊙O。 例5.（2012天津市3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，以頂點A、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點E，以頂點C、D為圓心，1為半徑的兩弧交于點F，則EF的長為 ▲ ．【答案】?！噙匒B上的高線為：。同理：點F在DC的垂直平分線上?！郋F＋2EM=AD=1，EF＋EM=，解得EF=?！咚倪呅蜲ABC是矩形，∴∠BCO=90176。例7.（2012江西南昌12分）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時，求O′A的長度； ②如圖2，當折疊后的經過圓心為O時，求的長度； ③如圖3，當弦AB=2時，求圓心O到弦AB的距離；（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．①如圖4，當AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點O到弦AB．CD的距離之和為d，求d的值；②如圖5，當AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點M為AB的中點，點N為CD的中點，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結論．【答案】解：（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，∴O′A=OA=2。=120176。=。根據垂徑定理及折疊，可知PH=PE，PG=PF?！哒郫B后的與所在圓外切，∴連心線O′O″必過切點P。②如圖2，過點O作OE⊥AB交⊙O于點E，連接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據弧長公式計算即可。練習題：1. （2012江蘇泰州3分）如圖，△ABC內接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50176。 D．60176。 C．55176。則∠ACB的度數是【　　】A．80176。8.（2012黑龍江大慶6分） 如圖△ABC中，BC=3，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，若D是AC中點，∠ABC=120176?！唷螦BD=∠DCA（全等三角形對應角相等）。例3.（2012黑龍江牡丹江3分）如圖．點D、E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE．請寫出圖中的全等三角形 ▲ (寫出一對即可)．【答案】△ABD≌△ACE（答案不唯一）。∴△ABD≌△ACE（SSS）。DE=1，則EF的長是【 】A．3 B．2 C． D．1【答案】B?！螧=∠FAB=90176?！唷螧AC=30176?！逥E=1，∴AE=2DE=2。例5.（2012四川宜賓3分）如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，點E、F分別為AB．AD的中點，則△AEF與多邊形BCDFE的面積之比為【 】　 A． B． C． D． 【答案