【正文】 ）如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．（1）求證：EB=GD；（2）判斷EB與GD的位置關系，并說明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的長．10. （2011湖南衡陽10分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），點P是AB邊上的任意一點（不與點A、B重合），連接PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BC于點Q．（1）當m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由；（2）連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關系式，并寫出m的取值范圍．二、構(gòu)造等腰（邊）三角形：當問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰（邊）三角形；出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰（邊）三角形?！唷螼BC＝∠OCB＝40176。AB=AC?！嗨倪呅蜛BFC是平行四邊形；
（2）∵DE2＝BE典型例題：例2.（2012廣西柳州3分）已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45176?！咴赗t△ABD中，∠ABD=45176?！郆M=x，GM=3x。支架BD⊥AB于點B，且AC、BD的延長線均過⊙O的圓心，AB＝12m，⊙，求雕塑最頂端到水平地面的垂直距離(，參考數(shù)據(jù)：cos28186?！郑瑃an37176?！唷螩BO=∠DBO=30176?？潭染€，則假山的高度為【 】A．（4+）m B．（12+）m C．（4+）m D．4m4.（2012江蘇南京2分）如圖，將的∠AOB按圖擺放在一把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將的∠AOC放置在該尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)約為 ▲ cm（結(jié)果精確到0. 1 cm，參考數(shù)據(jù)：，）5.（2012福建福州4分）如圖，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36176。∴DE=HE，DC=AH。又∵∠C=∠BQH=90176。（2）先由AAS證明△ABP≌△QBP，從而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。ABAB=AC，∴△ACD≌△ABE（AAS）。 處(如圖④)?！摺鱀CE∽△DAB，且CE：DE=1：2，∴在Rt△ABD中，AB=BD=。在Rt△OBP中，由∠BOP=30176?！痉治觥浚á瘢└鶕?jù)題意得，∠OBP=90176。例4.（2012湖南岳陽3分）如圖，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點，且AD=AB，DF∥BC，E為BD的中點．若EF⊥AC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為　 ▲ ?。敬鸢浮?5?！?，176?！郆N=NF?！逷H∥BC，∴S△HBC=S△PBC?！帱cA、P、C共線。＝30176。求證：AE=AF。 又由翻折的性質(zhì)，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。（2）證明：連接DE，∵AD平行且等于BE，∴四邊形ABED是平行四邊形， 又∠ABE=90176。【考點】圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義。 又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ，∴∠AEC=∠ECD＋∠DBE=3∠θ，即3∠θ=540?！痉治觥窟B接AE，BE，DF，CF?！唷螧OC=60176。②如圖5，當AB與CD不平行時，四邊形是OMPN平行四邊形。則∠BCD的度數(shù)為【 】A．35176?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)。=60176?！痉治觥咳鐖D，連接BD，過點F作FG∥AB交BD于點G，連接EG，CG?！痉治觥窟B接AF，∵DF是AB的垂直平分線，∴AF=BF。OC=3，則的長為【 】　　A．π　　B．2π　　C．3π　　D．5π10.（2012廣西南寧3分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O為BC的中點，以O為圓心作半圓，使它與AB，AC都相切，切點分別為D，E，則⊙O的半徑為【 】A．8　　　　B．6 　　　　C．5 　　　　D．4 11.（2012陜西省8分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，點M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足為N．（1）求證：OM=AN；（2）若⊙O的半徑R=3，PA=9，求OM的長． 12.（2012浙江麗水、金華8分）如圖，AB為⊙O的直徑，EF切⊙O于點D，過點B作BH⊥EF于點H，交⊙O于點C，連接BD．(1)求證：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圓心O到BC的距離．八、基本輔助線：基本輔助線包括連接兩點的線段、平行線、垂直線、角平分線等，如連接直角三角形直角頂點與斜邊的中點構(gòu)成斜邊上的中線；過三角形一邊的中點作另一邊的平行線構(gòu)成三角形的中位線；過三角形一頂點作對邊的垂直線構(gòu)成直角三角形；連接圓上一點和直徑的兩端點構(gòu)成直角三角形；等等。 B．45176。（2）①如圖4，當折疊后的與所在圓外切于點P時，過點O作EF⊥AB交AB于點H、交于點E，交CD于點G、交于點F，即點E、H、P、O、G、F在直徑EF上?！究键c】矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，圓周角定理。 ∴根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半的性質(zhì)，得∠AOB=60176?！痉治觥咳鐖D，連接CE，DE， ∵過A、C 、D三點的圓的圓心為E，過B、F、E三點的圓的圓心為D， ∴AE=CE=DE=DB。AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，則CD＝ ▲ cm． 4.（2012湖北黃岡3分）如圖，在梯形ABCD 中，AD∥BC ，AD=4，AB=CD=5，∠B=60176。又∵AD∥DC，∴四邊形AECD為平行四邊形。在△NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=。根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)和AE=AF?！痉治觥浚?）連接AE、BD、根據(jù)AB∥CD，AB＝CD＝DE，得出平行四邊形ABDE，即可推出答案。∴△ANB是等邊三角形。連接AC?！郋F∥AB?！摺螮NG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）。∴tan∠NPH＝。∵，即，∴，即。由題意設BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11－t，CQ=6－m．∴。∵在Rt△CEO中，CO=，CE=，由勾股定理得：EO=。作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30176。 沿GC折疊, 使點B落在EF上的點B39。 易證△CGM≌△CAB（SAS），即S2＝S△ABC； 易證△PBD≌△CAB（AAS），∴BP=AC，即S3的底為BN=BC，高為BP=AC，∴S2＝S△ABC；易證△SEA≌△CAB（AAS），∴AS=BC，即S1的底為FA=CA，高為AS=BC，∴S2＝S△ABC?！郉E＝AD又∵四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，∴。由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90176?！究键c】三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)。時，教學樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13m的距離(B、F、C在一條直線上)．(1)求教學樓AB的高度；(2)學校要在A、E之間掛一些彩旗，請你求出A、E之間的距離(結(jié)果保留整數(shù))．(參考數(shù)據(jù)：sin22186。半徑OA=6．將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在 上點D處，折痕交OA于點C，求整個陰影部分的周長和面積．【答案】解：連接OD。例6.（2012山東聊城7分）周末，小亮一家在東昌湖游玩，媽媽在湖心島岸邊P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船（如圖）．小船從P處出發(fā)，沿北偏東60176?！究键c】勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出EH=DH=1，進而得出再利用直角三角形中30176?！郃M=CM，∴四邊形AMCN是平行四邊形。在Rt△BEF中，由勾股定理，得。4. （2011四川巴中10分） 如圖所示，△ABC的外接圓圓心O在AB上，點D是BC延長線上一點，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND邊的中線． (1)求證：△ABC≌△DNC； (2)試判斷CP與⊙O的位置關系，并證明你的結(jié)論。CE，求證四邊形ABFC是矩形． 【答案】解：（1）證明：連接BD?！唷鱁FB是等邊三角形。∴∠ABC＝∠ACB＝65176。 C、30176。（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，從而可得出結(jié)論。例8.（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F(xiàn)，AE與FG交于點O．（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當△AED的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N是線段BC的中點；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長．【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF?！喈擜B=n時，△AME的面積為，當AB=n－1時，△AME的面積為?！嗨倪呅蜤FGH是平行四邊形。 又∵∠2=∠1＋∠4，即∠4=∠2—∠1。 D．35176?；咀鲌D很關鍵，平時掌握要熟練。圓半徑與弦長計算，弦心距來中間站。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。還要作個內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢圓。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。=20176。+15176。且∵AC≠BD，∴四邊形EFGH鄰邊不相等?！郍D=GF（等角對等邊）?！郃E=AB=4。．則∠3等于 【 】A、100176。【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質(zhì)得出∠OBC＝40176。DC=EF．（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD．【答案】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60176。【分析】（1）由△ABC是等邊三角形得到∠B=60176?！嗨倪呅蜛BFC是矩形?！咴赗t△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a。綜上所述，AC邊上的中線長是或a。又∵∠DCE=30176。 在Rt△AOB中，即， ∴。=200=100（米）。【考點】翻折變換（折疊問題），等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，弧長的扇形面積的計算?！郑?76。故選D。又∵EF為折痕，∴EF⊥BP。AB＝8，則ACAC＝AC又∵AB=AC，∴OA⊥BC。（1） 求圖②中∠BCB39?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠D=∠B=90176?！摺螼PB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180176?！唷螾C′E+∠EPC′=90176。又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，∴Rt△DFG∽Rt△ACH，∴，即，]解得?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)和判定，折疊對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。故選B。例3.（2012安徽省5分）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設它們的面積分別是SSSS4，給出如下結(jié)論： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，則S4=2 S2 ④若S1= S2，則P點在矩形的對角線上其中正確的結(jié)論的序號是 ▲ （把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）.【答案】②④。（1）求證：AF＝DF；（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60176?！啵剑?。∴四邊形AECF是平行四邊形。∴四邊形MFNE是平行四邊形。 （2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF。根據(jù)正切函數(shù)定義，得。 176。∵AE=BE，∴點E在AB的垂直平分線上。+60176?！痉治觥浚?）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，可得O′A的長度。求圖中陰影部分面積．6.（2012青海省7分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點N，點M在⊙O上，∠1=∠C（1）求證：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM=，求⊙O的直徑．7.（2012廣西貴港3分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點，點C是劣弧AB上的一個動點，若∠P＝40176?！郆H－DH=CHEH，即BD=CE。=30176?！摺螰AE=∠AFD=30176。還可得△ABE≌△ACD（SSS）。 B．110176。③如圖3，連接OA．OB，過點O作OE⊥AB于點E，可得△AOB為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識可求折疊后求圓心O到弦AB的距離?！嗟拈L度?！咚倪呅蜛BCD是正方形，∴AB∥DC?！敬鸢浮緾?！?。【考點】梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，菱形的判定。過點N作NH⊥AB于H，則由勾股定理可得NM=，從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知PQ=CQ，即可求得CQ=?！郌M＞EM?！郃E=AF。在△BGA中，由勾股定理得：BG＝＝。【答案】解：（1）證明：如圖1，連接BD、AE， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD?！啖赟2+S4= S1+ S3正確，則①S1+S2=S3+S4錯誤。【考點