【正文】 專業(yè)資料分享 【2013年中考攻略】專題7：幾何輔助線（圖）作法探討一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時顯得十分復雜，若通過適當?shù)淖儞Q，即添加適當?shù)妮o助線（圖），將原圖形轉換成一個完整的、特殊的、簡單的新圖形，則能使原問題的本質得到充分的顯示，通過對新圖形的分析，原問題順利獲解。網(wǎng)絡上有許多初中幾何常見輔助線作法歌訣，下面這一套是很好的：人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。 輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗?；咀鲌D很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)常總結方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學加苦練，成績上升成直線。在幾何題的證明或求解時，需要構成一些基本圖形來求證（解）時往往要通過添加輔助線（圖）來形成，添加輔助線（圖），構成的基本圖形是結果，構造的手段是方法。筆者從作輔助線的結果和方法兩方面將幾何輔助線（圖）作法歸納為結果―――（1）構造基本圖形；（2）構造等腰（邊）三角形：（3）構造直角三角形；（4）構造全等三角形；（5）構造相似三角形；（6）構造特殊四邊形；（7）構造圓的特殊圖形；方法―――（8）基本輔助線；（9）截取和延長變換；（10）對稱變換；（11）平移變換；（12）旋轉變換。下面通過近年全國各地中考的實例探討其應用。一、構造基本圖形：每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質而基本圖形不完整時補完整基本圖形。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。等腰（邊）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖形也都是基本圖形，但我們后面把它們單獨表述。典型例題：例1. （2012湖北襄陽3分）如圖，直線l∥m，將含有45176。角的三角板ABC的直角頂點C放在直線m上，若∠1=25176。，則∠2的度數(shù)為【 】A．20176。 B．25176。 C．30176。 D．35176。【答案】A。【考點】平行線的性質。【分析】如圖，過點B作BD∥l，∵直線l∥m，∴BD∥l∥m?！摺?=25176。，∴∠4=∠1=25176?！摺螦BC=45176。，∴∠3=∠ABC﹣∠4=45176。﹣25176。=20176。∴∠2=∠3=20176。故選A。例2.（2012四川內(nèi)江3分）如圖，【 】A. B. C. D.【答案】B。【考點】平行的性質，三角形外角性質。【分析】如圖，反向延長，形成∠4。 ∵，∴∠3=1800－∠4。 又∵∠2=∠1＋∠4，即∠4=∠2—∠1。 ∴。故選B。例3.（2012廣東梅州3分）如圖，∠AOE=∠BOE=15176。，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，則EF=　 ▲ ．【答案】2。【考點】角平分線的性質，平行的性質，三角形外角性質，含30度角的直角三角形的性質。【分析】作EG⊥OA于F，∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15176。，∵∠AOE=15176。，∴∠EFG=15176。+15176。=30176?！逧G=CE=1，∴EF=21=2。例4.（2012廣東佛山3分）依次連接任意四邊形各邊的中點，得到一個特殊圖形（可認為是一般四邊形的性質），則這個圖形一定是【 】 A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【答案】 A?！究键c】三角形中位線定理，平行四邊形的判定。【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如右圖所示：連接AC，∵四邊形ABCD各邊中點是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC?！郋F=GH，EF∥GH。∴四邊形EFGH是平行四邊形。由于四邊形EFGH是平行四邊形，它就不可能是梯形；同時由于是任意四邊形，所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立，從而得不到矩形或菱形的判斷。 故選A。 例5.（2012江蘇宿遷3分）已知點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，若AC⊥BD，且AC≠BD，則四邊形EFGH的形狀是 ▲ .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）【答案】矩形?！究键c】三角形中位線定理，矩形的判定?！痉治觥咳鐖D，連接AC，BD。 ∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，∴根據(jù)三角形中位線定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900?！嗨倪呅蜤FGH是矩形。且∵AC≠BD，∴四邊形EFGH鄰邊不相等?！嗨倪呅蜤FGH不可能是菱形。例6.（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點B在線段AC上，在線段AC同側作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME．當AB=1時，△AME的面積記為S1；當AB=2時，△AME的面積記為S2；當AB=3時，△AME的面積記為S3；…；當AB=n時，△AME的面積記為Sn．當n≥2時，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ 　．【答案】。【考點】正方形的性質，平行的判定和性質，同底等高的三角形面積，整式的混合運算?！痉治觥窟B接BE，∵在線段AC同側作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM?！唷鰽ME與△AMB同底等高?！唷鰽ME的面積=△AMB的面積?！喈擜B=n時，△AME的面積為，當AB=n－1時，△AME的面積為?！喈攏≥2時。例7.（2012江蘇鎮(zhèn)江6分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在BC邊上，且∠GDF=∠ADF。（1）求證：△ADE≌△BFE；（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關系，并說明理由。【答案】解：（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。 ∵E是AB的中點，∴AE=BE。 又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。 （2）EG與DF的位置關系是EG⊥DF。理由如下： ∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，∴∠GDF=∠BFE（等量代換）?！郍D=GF（等角對等邊）。 又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形對應邊相等）?！郋G⊥DF（等腰三角形三線合一）?！究键c】平行的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質。【分析】（1）由已知，應用AAS即可證明△ADE≌△BFE。 （2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，從而根據(jù)等角對等邊得GD=GF；由（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得EG⊥DF。例8.（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F(xiàn)，AE與FG交于點O．（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當△AED的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N是線段BC的中點；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長．【答案】解：（1）由折疊的性質可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF?！唷螮FG=∠EGF。∴EF=EG=AG?！嗨倪呅蜛GEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG）。又∵AG=GE，∴四邊形AGEF是菱形。（2）連接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點O是AE的中點，△AED的外接圓與BC相切于點N，∴ON⊥BC?！唿cO是AE的中點，∴ON是梯形ABCE的中位線?！帱cN是線段BC的中點。（3）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，∴OE=OA=ON=2?！郃E=AB=4。在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30176。在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30176。，∴?！郌G=?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質，菱形的判定，梯形中位線性質，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊的性質判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，從而結合AG=GE，可得出結論。（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，從而可得出結論。 （3）根據(jù)（1）可得出AE=AB，從而在Rt△ADE中，可判斷出∠AED為30176。，在Rt△EFO中求出FO，從而可得出FG的長度。練習題：1. （2012寧夏區(qū)3分）如圖，C島在A島的北偏東45176。方向，在B島的北偏西25176。方向，則從C島看A、B兩島的視角∠ACB＝ ▲ 度．2.（2012浙江嘉興、舟山5分）在直角△ABC中，∠C=90176。，AD平分∠BAC交BC于點D，若CD=4，則點D到斜邊AB的距離為　 ▲ ?。?.（2012江蘇南京8分）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點O，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點（1）求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積。4. （2011湖南懷化3分）如圖，已知直線∥，∠1=40176。，∠2=60176。．則∠3等于 【 】A、100176。 B、60176。 C、40176。 D、20176。
5. （2011湖北恩施3分）將一個直角三角板和一把直尺如圖放置，如果∠α=43176。，則∠β的度數(shù)是【 】 A、43176。 B、47176。 C、30176。 D、60176。6. （2011廣東茂名3分）如圖，兩條筆直的公路ll2相交于點O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個加工廠 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村莊C到公路l1的距離為4公里，則村莊C到公路l2的距離是【 】 A、3公里 B、4公里 C、5公里 D、6公里7. （2011遼寧遼陽3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60176。，若DE⊥AB，垂足為點E，則DE的長為 ▲ ．8. （2011貴州黔東南4分）順次連接一矩形場地ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點E、F、G、H，得到四邊形EFGH，M為邊EH的中點，點P為小明在對角線EG上走動的位置，若AB=10米，BC=米，當PM+PH的和為最小值時，EP的長為 ▲ 。9. （2011廣西玉林、防城港10分）如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．（1）求證：EB=GD；（2）判斷EB與GD的位置關系，并說明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的長．10. （2011湖南衡陽10分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），點P是AB邊上的任意一點（不與點A、B重合），連接PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BC于點Q．（1）當m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由；（2）連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關系式，并寫出m的取值范圍．二、構造等腰（邊）三角形：當問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰（邊）三角形；出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰（邊）三角形。通過構造等腰（邊）三角形，應用等腰（邊）三角形的性質得到一些邊角相等關系，達到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50176。．∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，點C沿EF折疊后與點O重合，則∠CEF的度數(shù)是　 ▲ 　．【答案】50176。【考點】翻折變換(折疊問題)，等腰三角形的性質，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定和性質?！痉治觥坷萌热切蔚呐卸ㄒ约按怪逼椒志€的性質得出∠OBC＝40176。，以及∠OBC＝∠OCB＝40176。，再利用翻折變換的性質得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，進而求出即可