梯形常用輔助線的做法(已修改)
2025-07-04 15:18 本頁面
【正文】 梯形常用輔助線的做法常見的梯形輔助線基本圖形如下:,把梯形的腰、兩底角等轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中,同時(shí)還得到平行四邊形．【例1】 已知：如圖,在梯形ABCD中,.求證：.分析:平移一腰BC到DE,將題中已知條件轉(zhuǎn)化在同一等腰三角形中解決,即AB=2CD.證明：過D作 ,交AB于E. ∵ AB平行于CD,且 , ∴四邊形 是菱形. ∴ 又 ∴ 為等邊三角形. ∴ 又 , ∴ ∴.【例2】如圖,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分別是AD 、BC 的中點(diǎn),若 .AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．分析：由條件 ,我們通過平移AB 、DC ；構(gòu)造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的中線． 解：過E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分別交BC 于M 、N ,∵ , ∴ ∴ 是直角三角形,∵ , , ∴ . ∵ 、 分別是 、 的中點(diǎn),∴ 為 的中點(diǎn),∴ . 變式：如圖1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。圖1析解：過點(diǎn)B作BM//AD交CD于點(diǎn)M，則梯形ABCD轉(zhuǎn)化為△BCM和平行四邊形ABMD。在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范圍是：5－4BC5＋4，即1BC9。,使它們交于一點(diǎn),可得到兩個(gè)相似三角形或等腰三角形、直角三角形等進(jìn)一步解決問題．【例3】.如圖,在梯形 中, , ,梯形 的面積與梯形 的面積相等．求證： . 分析：條件是兩個(gè)梯形的面積相等,而結(jié)論是三線段長的平方關(guān)系,如果延長兩腰交于一點(diǎn),就可得到三個(gè)相似的三角形,再利用相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系變形就可得出結(jié)論．證明：延長 、 使它們相交于 點(diǎn),∵ ,∴ ∴ . 同理, ∵ 故得 ∴ 變式1：如圖5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50176。，∠C=80176。，AD=2，BC=5，求CD的長。圖5析解：延長BA、CD交于點(diǎn)E。在△BCE中，∠B=50176。，∠C=80176。所以∠E=50176。，從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3變式2：如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論. 變式3：（延長兩腰）如圖，在梯形中，，、為、的中點(diǎn)?！ ?可以得到一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形．然后利用構(gòu)造的直角三角形和矩形解決問題．,在梯形 中,.求證：.分析:過上底向下底作兩高,構(gòu)造Rt△,然后利用兩三角形全等解決問題.證明：分別過D、C、作AB的垂線,垂足分別為E、F. ∵ , ∴ . 又 , ∴ ≌ .∴變式：如圖7，在直角梯形ABCD中
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