初中幾何輔助線大全-最全(已修改)
2025-08-15 00:50 本頁(yè)面
【正文】 三角形中作輔助線的常用方法舉例一、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖71：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求證：AD＝BC分析：欲證 AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)DA，CB，它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn)， ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知） ∴∠CAE＝∠DBE ＝90176。 （垂直的定義） 在△DBE與△CAE中 ∵ ∴△DBE≌△CAE （AAS） ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）二 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。三、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖91：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90176。，∠1＝∠2，CE⊥BD的延長(zhǎng)于E 。求證：BD＝2CE 分析：要證BD＝2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時(shí)CE與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。 證明：分別延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F。 ∵BE⊥CF （已知） ∴∠BEF＝∠BEC＝90176。 （垂直的定義）在△BEF與△BEC中， ∵ ∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ∵∠BAC=90176。 BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90176。 ∠1＋∠BDA＝90176。∠1＋∠BFC＝90176。 ∴∠BDA＝∠BFC在△ABD與△ACF中 ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ∴BD＝2CE四、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖111：AB＝DC，∠A＝∠D 求證：∠ABC＝∠DCB。分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。問(wèn)題得證。證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中 ∵ ∴△ABN≌△DCN （SAS） ∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在△NBM與△NCM中 ∵∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。巧求三角形中線段的比值例1. 如圖1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。解：過(guò)點(diǎn)D作DG//AC，交BF于點(diǎn)G 所以DG：FC＝BD：BC因?yàn)锽D：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4 即DG：FC＝1：4，F(xiàn)C＝4DG因?yàn)镈G：AF＝DE：AE 又因?yàn)锳E：ED＝2：3 所以DG：AF＝3：2即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6例2. 如圖2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD解：過(guò)點(diǎn)C作CG//DE交AB于點(diǎn)G，則有EF：GC＝AF：AC因?yàn)锳F＝FC 所以AF：AC＝1：2 即EF：GC＝1：2， 因?yàn)镃G：DE＝BC：BD 又因?yàn)锽C＝CD所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC因?yàn)镕D＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中的奧妙！例3. 如圖3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。解：過(guò)點(diǎn)B作BG//AD，交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。 所以DF：BG＝CD：CB因?yàn)锽D：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4 即DF：BG＝3：4， 因?yàn)锳F：BG＝AE：EB 又因?yàn)锳E：EB＝2：3所以AF：BG＝2：3 即所以AF：DF＝例4. 如圖4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。解：過(guò)點(diǎn)D作DG//CE，交AB于點(diǎn)G所以EF：DG＝AF：AD因?yàn)锳F＝FD 所以AF：AD＝1：2 圖4即EF：DG＝1：2 因?yàn)镈G：CE＝BD：BC，又因?yàn)锽D：CD＝1：3， 所以BD：BC＝1：4即DG：CE＝1：4，CE＝4DG因?yàn)镕C＝CE－EF＝所以EF：FC＝＝1：7練習(xí)：1. 如圖5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。2. 如圖6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。 答案：1：10； 2. 9：1二 由角平分線想到的輔助線圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①?gòu)慕瞧椒志€上一點(diǎn)向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等例1． 如圖12，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，即利用解平分
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