【正文】 B．D兩點立于地面，經(jīng)測量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條直線，且EF=32cm．（1）求證：AC∥BD；（2）求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)（176?！郑豢墒褂每茖W記算器）2. （2011山東淄博4分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC邊的中點，過點B作BG⊥AE，垂足為G，延長BG交AC于點F，則CF= ▲ ．3. （2011廣東深圳3分）如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點，則AD：BE的值為【 】A. :1 B. :1 :3 4. （2011廣西北海3分）如圖，△ABC的面積為63，D是BC上的一點，且BD∶CD＝2∶1，DE∥AC交AB于點E，延長DE到F，使FE∶ED＝2∶1，則△CDF的面積為 ▲ ．5. （2011湖北黃石3分）有甲、乙兩張紙條，甲紙條的寬是乙紙條寬的2倍，如圖。【考點】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)和判定，折疊對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。∴四邊形ABME是矩形。∴NG=NM?！郚M=CF=。故選B?！逜PBE，∴四邊形APEB是平行四邊形?！郟，E，F(xiàn)共線。∵PF∥AB，∴四邊形BFPH是平行四邊形。例3.（2012安徽省5分）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設它們的面積分別是SSSS4，給出如下結(jié)論： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，則S4=2 S2 ④若S1= S2，則P點在矩形的對角線上其中正確的結(jié)論的序號是 ▲ （把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）.【答案】②④。如圖，若S1=S2，則PFAD=PEAB，∴△APD與△PBA高度之比為：PF：PE =AB：AD 。∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC，即PF：CD =AF ：AD=AP：AC?！郟點在矩形的對角線上。（1）求證：AF＝DF；（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60176。∴四邊形ABDE是平行四邊形?！郃N＝1＝BN，∠ANB＝∠BAN＝60176?！唷螧AC＝90176。∴＝＝。∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BF＝BE＝。（2）在BC上截取BN＝AB＝1，連接AN，推出△ANB是等邊三角形，求出CN＝1＝AN，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC＝90176?！敬鸢浮孔C明：連接CE?！嗨倪呅蜛ECF是平行四邊形。【分析】由已知，根據(jù)AAS可證得△AEO≌△CFO，從而得AE=CF。例6.（2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN.（1）求證：△AND≌△CBM.（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由？（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連結(jié)PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。 ∴△AND≌△CBM（ASA）?！嗨倪呅蜯FNE是平行四邊形。（3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5?！逷Q∥MN，DC∥AB，∴四邊形NMQP是平行四邊形。∴NP=MQ=。 （2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。從而求解?！郃E∥DC?！嗨倪呅蜛BED是矩形。又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF。（2）連接DE，易得四邊形ABED是平行四邊形，又由∠ABE=90176。則下底BC 的長為 ▲ .5. （2011山東棗莊10分）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90176?！痉治觥咳鐖D，連接AO并延長交⊙O于點P1，連接AB，BP1。根據(jù)正切函數(shù)定義，得。例3.（2012山東日照4分）如圖，過A、C 、D三點的圓的圓心為E，過B、F、E三點的圓的圓心為D，如果∠A=63176。∴∠A=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE=∠θ。∴∠θ=180。 176?！痉治觥俊逴A=OB=OC，∴A、B、C在以O為圓心OA為半徑的圓上。故選C?！咭皂旤cA、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點E，AB=1，∴AB=AE=BE，∴△AEB是等邊三角形?！逜E=BE，∴點E在AB的垂直平分線上。由正方形的對稱性質(zhì)，知EM=FN?！痉治觥窟B接OB，∵CN=CO，∴OB=ON=2OC?！唷螻MB=∠BOC=30176。+60176。過點O作OE⊥AB于點E，∴OE=OA?sin60176。∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。證明如下：設O′，O″為和所在圓的圓心，∵點O′與點O關(guān)于AB對稱，點O″于點O關(guān)于CD對稱，∴點M為的OO′中點，點N為OO″的中點?！痉治觥浚?）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，可得O′A的長度。②由三角形中位線定理，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得證。 C．50176。 B．45176。求圖中陰影部分面積．6.（2012青海省7分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點N，點M在⊙O上，∠1=∠C（1）求證：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM=，求⊙O的直徑．7.（2012廣西貴港3分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點，點C是劣弧AB上的一個動點，若∠P＝40176。 D．140176。典型例題：例2.（2012廣東佛山6分）如圖，已知AB=DC，DB=AC（1）求證：∠ABD=∠DCA，注：證明過程要求給出每一步結(jié)論成立的依據(jù)．（2）在（1）的證明過程中，需要作輔助線，它的意圖是什么？【答案】證明：（1）連接AD，在△BAD和△CDA中，∵ AB=CD （已知），DB=AC（已知）， AD=AD（公共邊），∴△BAD≌△CDA（SSS）?！痉治觥浚?）連接AD，證明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到結(jié)論；（2）作輔助線的意圖是構(gòu)造全等的三角形。∴BH－DH=CHEH，即BD=CE。AB的垂直平分線DE交于BC的延長線于F，若∠F=30176?！逨D⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30176?！摺螦CB=90176。=30176。故選B。 ∵DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，點E、F分別為AB．AD的中點， ∴根據(jù)三角形中位線定理，得AE。【考點】直角梯形的性質(zhì)，三角形的面積，三角形中位線定理?！摺螰AE=∠AFD=30176?！螰AC=60176。﹣30176?！究键c】線段垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定。還可得△ABE≌△ACD（SSS）?！究键c】開放型，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定。（2）作輔助線的意圖是構(gòu)造全等的三角形即兩個三角形的公共邊。. （1）求∠ACB的大?。? （2）求點A到直線BC的距離．9.（2012山東泰安3分）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，連接BC，若∠ABC=120176。 B．110176。 D．75176。2.（2012湖北恩施3分）如圖，兩個同心圓的半徑分別為4cm和5cm，大圓的一條弦AB與小圓相切，則弦AB的長為【 】A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm3.（2012貴州黔東南4分）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=55176。則∠OCD的度數(shù)是【 】A．40176。③如圖3，連接OA．OB，過點O作OE⊥AB于點E，可得△AOB為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識可求折疊后求圓心O到弦AB的距離?！哒郫B后的與所在圓與⊙O是等圓，∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，PN=OO′=OM，∴四邊形OMPN是平行四邊形。又∵EF=4，∴點O到AB．CD的距離之和d為：d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2?！鄨A心O到弦AB的距離為?！嗟拈L度。②當經(jīng)過圓O時，折疊后的所在圓O′在⊙O上，如圖2所示，連接O′A．OA．O′B，OB，OO′?！?。例6.（2012廣西玉林、防城港3分）如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當CN=CO時，∠NMB的度數(shù)是 ▲ .【答案】30176?！咚倪呅蜛BCD是正方形，∴AB∥DC。同理：CD邊上的高線為：?！究键c】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 ∵ ∠ACB和∠AOB是同弧所對的圓周角和圓心角，且∠ACB=30176。【答案】C。則∠AOB的大小是【 】176。∴∠AEC=1800－2630=540?！究键c】等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角定理。∴。 則由直徑所對圓周角是直角的性質(zhì)，得∠ABP1=900。典型例題：例1. （2012海南省3分）如圖，點A、B、O是正方形網(wǎng)格上的三個格點，⊙O的半徑為OA，點P是優(yōu)弧上的一點，則的值是【 】A．1 B． C． D．【答案】A。練習題：1. （2012廣東深圳3分）如圖，Rt△ABC中，C= 90o，以斜邊AB為邊向外作正方形 ABDE，且正方形對角線交于點D，連接OC，已知AC=5，OC=6，則另一直角邊BC的長為 ▲ ．2.（2012內(nèi)蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，則梯形的面積是【 】A．25 B．50 C． D．3.（2012江蘇南通3分）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90186。【考點】梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，菱形的判定?！逧、F分別是BC、CD的中點，∴EF、GE是△CBD的兩條中線。 ∴△AOE∽△COF。BC=2AD，E是BC的中點，連接AE、AC．（1）點F是DC上一點，連接EF，交AC于點O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；（2）若點F是DC的中點，連接BD，交AE與點G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．【答案】解：（1）證明：∵點E是BC的中點，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD。過點N作NH⊥AB于H，則由勾股定理可得NM=，從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。【考點】翻折問題，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。又∵PQ=CQ，∴CQ=。過點N作NH⊥AB于H，則HM=4－3=1?！郌M＞EM。 又由翻折的性質(zhì)，得DN=FN，BM=EM， ∴FN=EM。 ∴∠DAC=∠BCA。由EF⊥AC，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形的判定得平行四邊形AECF是菱形?！郃E=AF。 又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。例5.（2012江蘇常州7分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂直平分線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF?！究键c】平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形中位線定理，勾股定理。在△BGA中，由勾股定理得：BG＝＝?！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴AB∥CD?！唷螦CN＝∠CAN＝60176。（2）如圖2，在BC上截取BN＝AB＝1，連接AN， ∵∠ABC＝60176?！敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖1，連接BD、AE， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD。綜上所述，結(jié)論②和④正確。∴∠PAF=∠CAD?！嗨倪呅蜛EPF是矩形，∴矩形AEPF∽矩形ABCD?！啖赟2+S4= S1+ S3正確，則①S1+S2=S3+S4錯誤?！逽△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4?！郟F=PE﹣EF=3a?！咚倪呅蜝DEF是平行四邊形，∴EFBD。【考點】平行四邊形的判定和性質(zhì)?！連G=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣?！逧M∥CD，∴BN：NF=BM：CM。∴EG=BM?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90176。7. （2011陜西省8分）一天，數(shù)學課外活動小組的同學們，帶著皮尺去測量某河道因挖沙形成的“圓錐形坑”的深度，來評估這些坑道對河道的影響，如圖是同學們選擇（確保測量過程中無安全隱患）的測量對象，測量方案如下：①；②甲同學直立于沙坑坑沿的圓周所在的平面上，經(jīng)過適當調(diào)整自己所處的位置，當他位于B時恰好他的視線經(jīng)過沙坑坑沿圓周上一點A看到坑底S（甲同學的視線起點C與點A，點S三點共線），經(jīng)測量：AB=，BC=．根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，求圓錐形坑的深度（圓錐的高）．（，）8. （2011北京5分）如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=∠CAB．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．六、構(gòu)造特殊四邊形：通過構(gòu)造平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四邊形，應用它們邊、角、對角線、中位線的性質(zhì)，達到求證（解）的目的?！?，176。【分析】∵CM＝DM，HN＝2NE，∴CM＝CD，HN＝HE