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幾何輔助線作法(文件)

2025-06-03 02:07 上一頁面

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【正文】 B.D兩點(diǎn)立于地面,經(jīng)測量:AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開,扣鏈EF成一條直線,且EF=32cm.(1)求證:AC∥BD;(2)求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)(176。≈;可使用科學(xué)記算器)2. (2011山東淄博4分)如圖,正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),過點(diǎn)B作BG⊥AE,垂足為G,延長BG交AC于點(diǎn)F,則CF= ▲ .3. (2011廣東深圳3分)如圖,△ABC與△DEF均為等邊三角形,O為BC、EF的中點(diǎn),則AD:BE的值為【 】A. :1 B. :1 :3 4. (2011廣西北海3分)如圖,△ABC的面積為63,D是BC上的一點(diǎn),且BD∶CD=2∶1,DE∥AC交AB于點(diǎn)E,延長DE到F,使FE∶ED=2∶1,則△CDF的面積為 ▲ .5. (2011湖北黃石3分)有甲、乙兩張紙條,甲紙條的寬是乙紙條寬的2倍,如圖?!究键c(diǎn)】翻折變換(折疊問題),矩形的性質(zhì)和判定,折疊對稱的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理?!嗨倪呅蜛BME是矩形?!郚G=NM?!郚M=CF=。故選B?!逜PBE,∴四邊形APEB是平行四邊形。∴P,E,F(xiàn)共線?!逷F∥AB,∴四邊形BFPH是平行四邊形。例3.(2012安徽省5分)如圖,P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn),連接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,設(shè)它們的面積分別是SSSS4,給出如下結(jié)論: ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1,則S4=2 S2 ④若S1= S2,則P點(diǎn)在矩形的對角線上其中正確的結(jié)論的序號是 ▲ (把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上).【答案】②④。如圖,若S1=S2,則PFAD=PEAB,∴△APD與△PBA高度之比為:PF:PE =AB:AD 。∴PF:CD =PE :BC=AP:AC,即PF:CD =AF :AD=AP:AC?!郟點(diǎn)在矩形的對角線上。(1)求證:AF=DF;(2)若BC=2AB,DE=1,∠ABC=60176。∴四邊形ABDE是平行四邊形?!郃N=1=BN,∠ANB=∠BAN=60176?!唷螧AC=90176?!啵剑??!咚倪呅蜛BDE是平行四邊形,∴BF=BE=。(2)在BC上截取BN=AB=1,連接AN,推出△ANB是等邊三角形,求出CN=1=AN,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC=90176?!敬鸢浮孔C明:連接CE。∴四邊形AECF是平行四邊形。【分析】由已知,根據(jù)AAS可證得△AEO≌△CFO,從而得AE=CF。例6.(2012海南省11分)如圖(1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分別翻折,使點(diǎn)B、D分別落在對角線BC上的點(diǎn)E、F處,折痕分別為CM、AN.(1)求證:△AND≌△CBM.(2)請連接MF、NE,證明四邊形MFNE是平行四邊形,四邊形MFNE是菱形嗎?請說明理由?(3)P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點(diǎn),連結(jié)PQ、CQ、MN,如圖(2)所示,若PQ=CQ,PQ∥MN。 ∴△AND≌△CBM(ASA)?!嗨倪呅蜯FNE是平行四邊形。(3)解:∵AB=4,BC=3,∴AC=5。∵PQ∥MN,DC∥AB,∴四邊形NMQP是平行四邊形?!郚P=MQ=。 (2)根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。從而求解?!郃E∥DC。∴四邊形ABED是矩形。又GE=GD,∴EF=GD=GE=DF。(2)連接DE,易得四邊形ABED是平行四邊形,又由∠ABE=90176。則下底BC 的長為 ▲ .5. (2011山東棗莊10分)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90176。【分析】如圖,連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)P1,連接AB,BP1。根據(jù)正切函數(shù)定義,得。例3.(2012山東日照4分)如圖,過A、C 、D三點(diǎn)的圓的圓心為E,過B、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為D,如果∠A=63176?!唷螦=∠ACE,∠ECD=∠CDE,∠DEB=∠DBE=∠θ。∴∠θ=180。 176?!痉治觥俊逴A=OB=OC,∴A、B、C在以O(shè)為圓心OA為半徑的圓上。故選C?!咭皂旤c(diǎn)A、B為圓心,1為半徑的兩弧交于點(diǎn)E,AB=1,∴AB=AE=BE,∴△AEB是等邊三角形?!逜E=BE,∴點(diǎn)E在AB的垂直平分線上。由正方形的對稱性質(zhì),知EM=FN?!痉治觥窟B接OB,∵CN=CO,∴OB=ON=2OC。∴∠NMB=∠BOC=30176。+60176。過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E,∴OE=OA?sin60176。∵AB∥CD,∴EF垂直平分AB和CD。證明如下:設(shè)O′,O″為和所在圓的圓心,∵點(diǎn)O′與點(diǎn)O關(guān)于AB對稱,點(diǎn)O″于點(diǎn)O關(guān)于CD對稱,∴點(diǎn)M為的OO′中點(diǎn),點(diǎn)N為OO″的中點(diǎn)?!痉治觥浚?)①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓,可得O′A的長度。②由三角形中位線定理,根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得證。 C.50176。 B.45176。求圖中陰影部分面積.6.(2012青海省7分)如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)N,點(diǎn)M在⊙O上,∠1=∠C(1)求證:CB∥MD;(2)若BC=4,sinM=,求⊙O的直徑.7.(2012廣西貴港3分)如圖,PA、PB是⊙O的切線,A、B是切點(diǎn),點(diǎn)C是劣弧AB上的一個(gè)動點(diǎn),若∠P=40176。 D.140176。典型例題:例2.(2012廣東佛山6分)如圖,已知AB=DC,DB=AC(1)求證:∠ABD=∠DCA,注:證明過程要求給出每一步結(jié)論成立的依據(jù).(2)在(1)的證明過程中,需要作輔助線,它的意圖是什么?【答案】證明:(1)連接AD,在△BAD和△CDA中,∵ AB=CD (已知),DB=AC(已知), AD=AD(公共邊),∴△BAD≌△CDA(SSS)?!痉治觥浚?)連接AD,證明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到結(jié)論;(2)作輔助線的意圖是構(gòu)造全等的三角形?!郆H-DH=CHEH,即BD=CE。AB的垂直平分線DE交于BC的延長線于F,若∠F=30176?!逨D⊥AB,∴∠AFD=∠BFD=30176?!摺螦CB=90176。=30176。故選B。 ∵DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD=AB,點(diǎn)E、F分別為AB.AD的中點(diǎn), ∴根據(jù)三角形中位線定理,得AE?!究键c(diǎn)】直角梯形的性質(zhì),三角形的面積,三角形中位線定理?!摺螰AE=∠AFD=30176?!螰AC=60176。﹣30176。【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的判定。還可得△ABE≌△ACD(SSS)。【考點(diǎn)】開放型,等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定。(2)作輔助線的意圖是構(gòu)造全等的三角形即兩個(gè)三角形的公共邊。. (1)求∠ACB的大?。? (2)求點(diǎn)A到直線BC的距離.9.(2012山東泰安3分)如圖,AB與⊙O相切于點(diǎn)B,AO的延長線交⊙O于點(diǎn)C,連接BC,若∠ABC=120176。 B.110176。 D.75176。2.(2012湖北恩施3分)如圖,兩個(gè)同心圓的半徑分別為4cm和5cm,大圓的一條弦AB與小圓相切,則弦AB的長為【 】A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm3.(2012貴州黔東南4分)如圖,若AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,∠ABD=55176。則∠OCD的度數(shù)是【 】A.40176。③如圖3,連接OA.OB,過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E,可得△AOB為等邊三角形,根據(jù)三角函數(shù)的知識可求折疊后求圓心O到弦AB的距離?!哒郫B后的與所在圓與⊙O是等圓,∴O′P=O″P=2,∴PM=OO″=ON,PN=OO′=OM,∴四邊形OMPN是平行四邊形。又∵EF=4,∴點(diǎn)O到AB.CD的距離之和d為:d=PH+PG=PE+PF=(PE+PF)=2?!鄨A心O到弦AB的距離為。∴的長度。②當(dāng)經(jīng)過圓O時(shí),折疊后的所在圓O′在⊙O上,如圖2所示,連接O′A.OA.O′B,OB,OO′?!?。例6.(2012廣西玉林、防城港3分)如圖,矩形OABC內(nèi)接于扇形MON,當(dāng)CN=CO時(shí),∠NMB的度數(shù)是 ▲ .【答案】30176。∵四邊形ABCD是正方形,∴AB∥DC。同理:CD邊上的高線為:?!究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理。 ∵ ∠ACB和∠AOB是同弧所對的圓周角和圓心角,且∠ACB=30176?!敬鸢浮緾。則∠AOB的大小是【 】176?!唷螦EC=1800-2630=540。【考點(diǎn)】等腰三角形的判定和性質(zhì),三角形外角定理。∴。 則由直徑所對圓周角是直角的性質(zhì),得∠ABP1=900。典型例題:例1. (2012海南省3分)如圖,點(diǎn)A、B、O是正方形網(wǎng)格上的三個(gè)格點(diǎn),⊙O的半徑為OA,點(diǎn)P是優(yōu)弧上的一點(diǎn),則的值是【 】A.1 B. C. D.【答案】A。練習(xí)題:1. (2012廣東深圳3分)如圖,Rt△ABC中,C= 90o,以斜邊AB為邊向外作正方形 ABDE,且正方形對角線交于點(diǎn)D,連接OC,已知AC=5,OC=6,則另一直角邊BC的長為 ▲ .2.(2012內(nèi)蒙古呼和浩特3分)已知:在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD=3,BC=7,則梯形的面積是【 】A.25 B.50 C. D.3.(2012江蘇南通3分)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90186?!究键c(diǎn)】梯形的性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),平行的性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì),三角形中位線的性質(zhì),菱形的判定。∵E、F分別是BC、CD的中點(diǎn),∴EF、GE是△CBD的兩條中線。 ∴△AOE∽△COF。BC=2AD,E是BC的中點(diǎn),連接AE、AC.(1)點(diǎn)F是DC上一點(diǎn),連接EF,交AC于點(diǎn)O(如圖1),求證:△AOE∽△COF;(2)若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn),連接BD,交AE與點(diǎn)G(如圖2),求證:四邊形EFDG是菱形.【答案】解:(1)證明:∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),BC=2AD,∴EC=BE=BC=AD。過點(diǎn)N作NH⊥AB于H,則由勾股定理可得NM=,從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知PQ=CQ,即可求得CQ=?!究键c(diǎn)】翻折問題,翻折的性質(zhì),矩形的性質(zhì),平行的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),菱形的判定,勾股定理。又∵PQ=CQ,∴CQ=。過點(diǎn)N作NH⊥AB于H,則HM=4-3=1?!郌M>EM。 又由翻折的性質(zhì),得DN=FN,BM=EM, ∴FN=EM。 ∴∠DAC=∠BCA。由EF⊥AC,根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形的判定得平行四邊形AECF是菱形?!郃E=AF。 又∵AO=CO,∴△AEO≌△CFO(AAS)。例5.(2012江蘇常州7分)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,對角線AC的中點(diǎn)為O,過點(diǎn)O作AC的垂直平分線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F,連接AF。【考點(diǎn)】平行四邊形的判定和性質(zhì),全等、相似三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,三角形中位線定理,勾股定理。在△BGA中,由勾股定理得:BG==?!咚倪呅蜛BCD是平行四邊形,∴AB∥CD。∴∠ACN=∠CAN=60176。(2)如圖2,在BC上截取BN=AB=1,連接AN, ∵∠ABC=60176?!敬鸢浮拷猓海?)證明:如圖1,連接BD、AE, ∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AB=CD。綜上所述,結(jié)論②和④正確。∴∠PAF=∠CAD?!嗨倪呅蜛EPF是矩形,∴矩形AEPF∽矩形ABCD?!啖赟2+S4= S1+ S3正確,則①S1+S2=S3+S4錯(cuò)誤?!逽△HBC:S△ABC=BH:AB=3a:4a=3:4,∴S△PBC:S△ABC=3:4?!郟F=PE﹣EF=3a?!咚倪呅蜝DEF是平行四邊形,∴EFBD?!究键c(diǎn)】平行四邊形的判定和性質(zhì)。∵BG=AB=CD=CF+DF=3,∴BN=BG﹣NG=3﹣?!逧M∥CD,∴BN:NF=BM:CM。∴EG=BM。∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=90176。7. (2011陜西省8分)一天,數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)們,帶著皮尺去測量某河道因挖沙形成的“圓錐形坑”的深度,來評估這些坑道對河道的影響,如圖是同學(xué)們選擇(確保測量過程中無安全隱患)的測量對象,測量方案如下:①;②甲同學(xué)直立于沙坑坑沿的圓周所在的平面上,經(jīng)過適當(dāng)調(diào)整自己所處的位置,當(dāng)他位于B時(shí)恰好他的視線經(jīng)過沙坑坑沿圓周上一點(diǎn)A看到坑底S(甲同學(xué)的視線起點(diǎn)C與點(diǎn)A,點(diǎn)S三點(diǎn)共線),經(jīng)測量:AB=,BC=.根據(jù)以上測量數(shù)據(jù),求圓錐形坑的深度(圓錐的高).(,)8. (2011北京5分)如圖,在△ABC,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在AC的延長線上,且∠CBF=∠CAB.(1)求證:直線BF是⊙O的切線;(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的長.六、構(gòu)造特殊四邊形:通過構(gòu)造平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四邊形,應(yīng)用它們邊、角、對角線、中位線的性質(zhì),達(dá)到求證(解)的目的?!?,176?!痉治觥俊逤M=DM,HN=2NE,∴CM=CD,HN=HE
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