【正文】 ：連接BO，∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分線，∴AO是BC的中垂線?！郆O＝CO。∵∠BAC＝50176。，∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，∴∠OAB＝∠OAC＝25176?！叩妊鰽BC中， AB＝AC，∠BAC＝50176。，∴∠ABC＝∠ACB＝65176。∴∠OBC＝65176。－25176。＝40176?！唷螼BC＝∠OCB＝40176?！唿cC沿EF折疊后與點O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2400）247。2＝50176。例2.（2012甘肅白銀10分）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上，∠EFB=60176。，DC=EF．（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD．【答案】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60176。∵∠EFB=60176。，∴∠ABC=∠EFB?！郋F∥DC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）?！逥C=EF，∴四邊形EFCD是平行四邊形。（2）連接BE?！連F=EF，∠EFB=60176。，∴△EFB是等邊三角形?！郋B=EF，∠EBF=60176。∵DC=EF，∴EB=DC?！摺鰽BC是等邊三角形，∴∠ACB=60176。，AB=AC?！唷螮BF=∠ACB?！唷鰽EB≌△ADC（SAS）?！郃E=AD?！究键c】等邊三角形的性質(zhì)，平行的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由△ABC是等邊三角形得到∠B=60176。，而∠EFB=60176。，由此可以證明EF∥DC，而DC=EF，然后即可證明四邊形EFCD是平行四邊形；（2）如圖，連接BE，由BF=EF，∠EFB=60176?？梢酝瞥觥鱁FB是等邊三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60176。，而DC=EF，由此得到EB=DC，又△ABC是等邊三角形，所以得到∠ACB=60176。，AB=AC，由SAS即可證明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性質(zhì)就證明AE=AD。例3.（2011上海12分）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，過點D作DE⊥BC，垂足為E，并延長DE至F，使EF＝DE．聯(lián)結(jié)BF、CD、AC．（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形； （2）如果DE2＝BECE，求證四邊形ABFC是矩形． 【答案】解：（1）證明：連接BD。∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∠ACB=∠DBC∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，∠DBC=∠FBC?！郃C=BF，∠ACB=∠CBF。∴AC∥BF。∴四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）∵DE2＝BECE，∴?！摺螪EB=∠DEC=90176。，∴△BDE∽△DEC?！唷螩DE=∠DBE，∴∠BFC=∠BDC=∠BDE＋∠CDE=∠BDE＋∠DBE=90176?！嗨倪呅蜛BFC是矩形?！究键c】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等量代換?！痉治觥浚?）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC=BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB=FB，從而得到AC=BF，然后證得AC∥BF，利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形。（2）利用題目提供的等積式和兩直角相等可以證得兩直角三角形相似，得到對應(yīng)角相等，從而得到直角來證明有一個角是直角的平行四邊形是矩形。練習(xí)題：1. （2011山東濰坊3分）已知長方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，過對角線BD的中點O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，則AE的長為 ▲ ．2. （2011遼寧遼陽3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60176。，若DE⊥AB，垂足為點E，則DE的長為 ▲ ．3. （2011湖北十堰8分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C為半徑OB上一點，過點C作CD⊥AB交半圓O于點D，將△ACD沿AD折疊得到△AED，AE交半圓于點F，連接DF。（1）求證：DE是半圓的切線；（2）連接OD，當(dāng)OC=BC時，判斷四邊形ODFA的形狀，并證明你的結(jié)論。4. （2011四川巴中10分） 如圖所示，△ABC的外接圓圓心O在AB上，點D是BC延長線上一點，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND邊的中線． (1)求證：△ABC≌△DNC； (2)試判斷CP與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。5. （2011廣東河源9分） 如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。將△ACD沿對角線AC翻折后，點D恰好與邊AB的中點M重合． (1)點C是否在以AB為直徑的圓上?請說明理由。 (2)當(dāng)AB=4時，求此梯形的面積．三、構(gòu)造直角三角形：通過構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)得到一些邊角關(guān)系（勾股定理，兩銳角互余，銳角三角函數(shù)），達到求證（解）的目的。典型例題：例2.（2012廣西柳州3分）已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45176。角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為 （即cosC=），則AC邊上的中線長是 ▲ ．【答案】或a?！究键c】解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥糠謨煞N情況：①△ABC為銳角三角形時，如圖1，BE為AC邊的中線。作△ABC的高AD，過點E作EF⊥BC于點F?！咴赗t△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a。∵在Rt△ABD中，∠ABD=45176。，∴BD=AD=a?！郆C=BD+CD=a?！唿cE是AC的中點，EF∥AD，∴EF是△ACD的中位線。∴FC=DC=a，EF=AD=a?！郆F=a。在Rt△BEF中，由勾股定理，得。②△ABC為鈍角三角形時，如圖2，BE為AC邊的中線。作△ABC的高AD。∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a?！咴赗t△ABD中，∠ABD=45176。，∴BD=AD=a?！郆C= BD=a?！唿cE是AC的中點，∴BE是△ACD的中位線?！郆E=AD=a。綜上所述，AC邊上的中線長是或a。例3. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連結(jié)CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為1︰4，則 的值為【 】A．2 B．4 C． D．【答案】D?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟^點N作NG⊥BC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCN是菱形，由△CDN的面積與△CMN的面積比為1：4，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，可得DN：CM=1：4，然后設(shè)DN=x，由勾股定理可求得MN的長，從而求得答案： 過點N作NG⊥BC于G，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形CDNG是矩形，AD∥BC?！郈D=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN?！郃M=AN。∴AM=CM，∴四邊形AMCN是平行四邊形?！逜M=CM，∴四邊形AMCN是菱形?！摺鰿DN的面積與△CMN的面積比為1：4，∴DN：CM=1：4。設(shè)DN=x，則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x?！郆M=x，GM=3x。在Rt△CGN中，在Rt△MNG中，∴。故選D。例4.（2012北京市5分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的長和四邊形ABCD的面積．【答案】解：過點D作DH⊥AC，∵∠CED=45176。，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1。又∵∠DCE=30176。，∴DC=2，HC=?！摺螦EB=45176。，∠BAC=90176。，BE=2，∴AB=AE=2?！郃C=2+1+ =3+。∴ ?！究键c】勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出EH=DH=1，進而得出再利用直角三角形中30176。所對邊等于斜邊的一半得出CD的長，求出AC，AB的長即可得出四邊形ABCD的面積。例5.（2012山東萊蕪9分）某市規(guī)劃局計劃在一坡角為16186。的斜坡AB上安裝一球形雕塑，其橫截面示意圖如圖所示．已知支架AC與斜坡AB的夾角為28186。，支架BD⊥AB于點B，且AC、BD的延長線均過⊙O的圓心，AB＝12m，⊙，求雕塑最頂端到水平地面的垂直距離(，參考數(shù)據(jù)：cos28186?！?，sin62186?！?，sin44186?！?，cos46186?！?．【答案】解：如圖，過點O作水平地面的垂線，垂足為點E。 在Rt△AOB中，即， ∴?！摺螧AE=160，∴∠OAE=280＋160=440。在Rt△AOE中，即，∴＋=≈（m）。答： m?！究键c】解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥咳鐖D，過點O作水平地面的垂線，構(gòu)造Rt△AOE。解Rt△AOB，求出OA；解Rt△AOE，求出OE，即可得出雕塑最頂端到水平地面的垂直距離。例6.（2012山東聊城7分）周末，小亮一家在東昌湖游玩，媽媽在湖心島岸邊P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船（如圖）．小船從P處出發(fā)，沿北偏東60176。劃行200米到達A處，接著向正南方向劃行一段時間到達B處．在B處小亮觀測媽媽所在的P處在北偏西37176。方向上，這時小亮與媽媽相距多少米（精確到米）？（參考數(shù)據(jù)：sin37176。≈，cos37176?！郑瑃an37176。≈，≈，≈）【答案】解：作PD⊥AB于點D，由已知得PA=200米，∠APD=30176。，∠B=37176。，在Rt△PAD中，由cos30176。=，得PD=PAcos30176。=200=100（米）。在Rt△PBD中，由sin37176。=，得PB=（米）。答：小亮與媽媽的距離約為288米?！究键c】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題），銳角三角函數(shù)?！痉治觥孔鱌D⊥AB于點D，分別在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得結(jié)論。例7. （2012吉林省8分）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90176。，半徑OA=6．將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在 上點D處，折痕交OA于點C，求整個陰影部分的周長和面積．【答案】解：連接OD。 根據(jù)折疊的性質(zhì)，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，∴OB=OD=BD?！唷鱋BD是等邊三角形?！唷螪BO=60176?！唷螩BO=∠DBO=30176?！摺螦OB=90176。，∴OC=OB?tan∠CBO=6?！?，∴整個陰影部分的周長為：AC+CD+BD+==AC+OC+OB+=6+6+3π=12+3π。整個陰影部分的面積為：?！究键c】翻折變換（折疊問題），等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，弧長的扇形面積的計算。【分析】連接OD，由折疊的性質(zhì)，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，則可得△OBD是等邊三角形，繼而求得OC的長，即可求得△OBC與△BCD的面積，又由在扇形OAB中，∠AOB=90176。，半徑OA=6，即可求得扇形OAB的面積與 的長，從而求得整個陰影部分的周長和面積。練習(xí)題：1. （2012四川綿陽3分）已知△ABC中，∠C=90176。，tanA=，D是AC上一點，∠CBD=∠A，則sin∠ABD=【 】。A． B． C． D．2.（2012山東青島8分）如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22186。時，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面的夾角是45186。時，教學(xué)樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13m的距離(B、F、C在一條直線上)．(1)求教學(xué)樓AB的高度；(2)學(xué)校要在A、E之間掛一些彩旗，請你求出A、E之間的距離(結(jié)果保留整數(shù))．(參考數(shù)據(jù)：sin22186?！?，cos22186。≈，tan22186?！?3.（2012湖北襄陽3分）在一次數(shù)學(xué)活動中，李明利用一根栓有小錘的細線和一個半圓形量角器制作了一個測角儀，去測量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD．如圖，已知小明距假山的水平距離BD為12m，李明的視線經(jīng)過量角器零刻度線OA和假山的最高點C，此時，鉛垂線OE經(jīng)過量角器的60176?？潭染€，則假山的高度為【 】A．（4+）m B．（12+）m C．（4+）m D．4m4.（2012江蘇南京2分）如圖，將的∠AOB按圖擺放在一把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將的∠AOC放置在該尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)約為 ▲ cm（結(jié)果精確到0. 1 cm，參考數(shù)據(jù)：，）5.（2012福建福州4分）如圖，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36176。，∠ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是 ▲ ，cosA的值是 ▲ ．(結(jié)果保留根號)6.（2012陜西省8分）如圖，小明想用所學(xué)的知識來測量湖心島上的迎賓槐與岸上的涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭A處測得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東方向，然后，他從涼亭A處沿湖岸向正東方向走了100米到B處，測得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東方向（點A、B、C在同一水平面上）．請你利用小明測得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，）7.（2012江蘇連云港10分）176。方向，且其到A觀測點正北方向的距離BD的長為16km，一艘貨輪從B港口以40km/