梯形常用輔助線的做法(編輯修改稿)
2025-07-19 15:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 分∠ADC,CE平分∠BCD． 證法1：取DC中點(diǎn)F,連結(jié)EF,E為AD中點(diǎn),則EF為梯形的中位線 ∴EF∥AD∥BC EF=(AD＋BC) ∴∠1=∠5,∠3=∠6 ∵DC=AD＋BC ∴EF=DC=DF=CF ∴∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠2=∠5,∠4=∠6 ∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4=180176。 ∴∠1＋∠3=90176。 ∴DE⊥C,DE平分ADC,CE平分∠CD 證法2：延長CE與DA延長線交于一點(diǎn)F,過程略．證法3：在DC上截取DF=AD,連結(jié)AF、BF、EF解決.變式1：如圖9，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點(diǎn)，∠AOD=90176。，求證：AB＋CD=AD。圖9析證：取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=（AB＋CD）①在△AOD中，∠AOD=90176。，AE=DE所以 ②由①、②得AB＋CD=AD。變式2：在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=900，E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。解、分析：分別延長AE與BC ，并交于F點(diǎn)，從而等到△ADE與△FCE是全等的，在利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以求出結(jié)論”。解：分別延長AE與BC ，并交于F點(diǎn)∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900 又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等) ∠AED=∠FEC （對(duì)頂角相等）DE=EC （E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)）∴△ADE≌△FCE （AAS） ∴ AE=FE在△ABF中∠FBA=900 且AE=FE∴ BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。［例10］如圖10，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：（1）EF//AD；（2）。圖10析證：連接DF，并延長交BC于點(diǎn)G，易證△AFD≌△CFG則AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位線從而EF//BG，且因?yàn)锳D//BG，所以EF//AD，EF,可以特題特解,結(jié)合具體問題中的具體條件, 、利用一腰中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)、將梯形補(bǔ)成平行四邊形或三角形問題.【例9】.已知：如圖5,在梯形ABCD 中, M、N分別是BD 、AC ： . 證明：連結(jié)并延長 ,交 . ∴ 又N是AC的中點(diǎn), ∴ , 故 取一腰的中點(diǎn),連結(jié)頂點(diǎn)和這個(gè)中點(diǎn)并延長與對(duì)邊的延長線相交,可得兩個(gè)全等三角形．【例10】.如圖,梯形 中, , 、 分別平分 和 , 為 中點(diǎn),求證： ．分析：要證明 ,可以利用 為 中點(diǎn),延長 與 的延長線交于 , ,得到 ,再證明 即可．證明：延長 、 交
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