【文章內(nèi)容簡介】 ，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。例3． 已知如圖23，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習：1．如圖24∠AOP=∠BOP=15，PC//OA，PD⊥OA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12．已知在△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，CD=,DB=。3．已知：如圖25, ∠BAC=∠CAD,ABAD，CE⊥AB，AE=（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180：如圖26,在正方形ABCD中，E為CD 的中點，F(xiàn)為BC 上的點，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。5． 已知：如圖27，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1． 已知：如圖31，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中點。求證：DH=（ABAC）分析：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。例2． 已知：如圖32，AB=AC，∠BAC=90，AD為∠ABC的平分線，CE⊥：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3．已知：如圖33在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。例4． 已知：如圖34，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長線于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作△ABD關(guān)于AD的對稱△AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對稱△FCM，然后只需證DF=CF即可。練習：1． 已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點，AE是∠BAC的平分線，且CE⊥AE于E，連接DE，求DE。2． 已知BE、BF分別是△ABC的∠ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖41和圖42所示。12ACDB例4 如圖，ABAC, ∠1=∠2，求證：AB－ACBD－CD。例5 如圖，BCBA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180。BDCAABECD例6 如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。練習：1. 已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：△ABC是直角三角形。CAB2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥ACABDC12 3．已知CE、AD是△ABC的角平分線，∠B=60176。，求證：AC=AE+CDAEBDC4．已知：如圖在△ABC中，∠A=90176。，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，求證：BC=AB+ADABCD三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例 已知如圖11：D、E為△ABC內(nèi)兩點,求證:AB+ACBD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+ANMD+DE+NE。（1）在△BDM中，MB+MDBD；（2）在△CEN中，CN+NECE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE∴AB+ACBD+DE+EC（法二：圖12）延長BD交AC于F，廷長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB+AFBD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）GF+FCGE+CE（同上）（2）DG+GEDE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE∴AB+ACBD+DE+EC。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖21：已知D為△ABC內(nèi)的任一點，求證：∠BDC∠BAC。分析：因為∠BDC與∠BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC∠DEC，同理∠DEC∠BAC，∴∠BDC∠BAC證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF∠BAD，同理，∠CDF∠CAD，∴∠BDF+∠CDF∠BAD+∠CAD，即：∠BDC∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖31：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CFEF。分析：要證BE+CFEF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在△DBE和△NDE中：DN=DB（輔助線作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共邊）∴△DBE≌△NDE（SAS）∴BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FNEF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CFEF。注意：當證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、 截長補短法作輔助線。例如：已知如圖61：在△ABC中，ABAC，∠1=∠2，P為AD上任一點求證：ABACPBPC。分析：要證：ABACPBPC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABAC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中AN=AC（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PBPNBN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BPPCABAC證明：（補短法）延長AC至M，使AM=AB，連接PM，在△ABP和△AMP中AB=AM（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）又∵在△PCM中有：CMPMPC(三角形兩邊之差小于第三邊)∴ABACPBPC。DAECB例1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180176。，求證：AE=AD+BE。例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180186。例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108176。，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DC。MBDCA例4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90176。，AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB于M，且AM=MB。求證：CD=DB。1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。EDCBA，△ABC中，∠BAC=90176。，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE四 由中點想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因為ΔABD與ΔACD是等底同高的）。例1．如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。解：因為AD是ΔABC的中線，所以SΔACD=SΔABC=2=1，又因CD是ΔACE的中線，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中線，所以SΔCDF=SΔCDE=1=?！唳DF的面積為。（二）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點為M，連結(jié)ME、MF，∵ME是ΔBCD的中位線，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵MF是ΔABD的中位線，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=22=4。在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90176。，∴BD===，故BC=2BD=2。例4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。證明：延長AD到E，使DE=AD。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE?！逜B//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，