作輔助線的常用方法舉例(編輯修改稿)
2025-08-22 12:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。⑷有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形。例如：如圖51：AD為 △ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結論多BD＋CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去。 證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE＝2AD ∵AD為△ABC的中線 （已知） ∴BD＝CD （中線定義） 在△ACD和△EBD中 ∴△ACD≌△EBD （SAS） ∴BE＝CA（全等三角形對應邊相等） ∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形兩邊之和大于第三邊） ∴AB＋AC＞2AD。（常延長中線加倍，構造全等三角形）練習：已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖52， 求證EF＝2AD。 六、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖61：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任一點。求證：AB－AC＞PB－PC。分析：要證：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三邊關系定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN， 再連接PN，則PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。證明：（截長法）在AB上截取AN＝AC連接PN , 在△APN和△APC中∵ ∴△APN≌△APC （SAS） ∴PC＝PN （全等三角形對應邊相等） ∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN （三角形兩邊之差小于第三邊） ∴BP－PC＜AB－AC
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