常見輔助線作法(編輯修改稿)
2025-07-15 13:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的圓周上，∴AB⊥AC。，⊙A和⊙B外切于點P，CD為⊙A、⊙B的外公切線，C、D為切點，若⊙A與⊙B的半徑分別為r和3r,求：⑴CD的長；⑵∠B的度數(shù)。解：連結(jié)AB，連結(jié)AC、BD，過點A作AE⊥BD于E。⑴、∵CD是⊙A和⊙B的外公切線，C、D為切點，∴AC⊥CD，BD⊥CD。又∵AE⊥BD，∴四邊形ACDE為矩形，∴CD=AE，DE=AC=r，∴BE=BDDE=3rr=2r。∵AB=r+3r=4r，∴。⑵、在Rt△AEB中，∵，∴∠B=60176。評析：在解決有關兩圓相切的問題時，常常需作出兩圓的公切線或連心線，利用公切線垂直于經(jīng)過切點的半徑、切線長相等、連心線長等于兩圓半徑之和（或差）等性質(zhì)來溝通兩圓間的聯(lián)系。六、兩圓相交，常作公共弦（或者作兩圓的連心線），⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，AD是⊙O1的直徑，且圓心O1在⊙O2上，連結(jié)DB并延長交⊙O2于點C，求證：CO1⊥AD。證明：連結(jié)AB?！?AD為⊙O1的直徑，∴∠ABD=90176。，∴∠D+∠BAD=90176。又∵∠C和∠BAO1都是⊙O2中所對的圓周角，∴∠C=∠BAO1，即∠C=∠BAD，∴∠D+∠C=90176。，∴CO1⊥AD。，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，兩圓半徑分別為和，公共弦AB的長為12，求∠O1AO2的度數(shù)。解：連結(jié)AB、O1O2，使之交于H點?！逜B為⊙O1與⊙O2的公共弦，∴連心線O1O2垂直平分AB，∴，∴，∴∠O1AH=45176。，∠O2AH=30176。，∴∠O1AO2=∠O1AH+∠O2AH=75176。評析：在解決有關兩圓相交的問題時，最常見的輔助線是兩圓的公共弦或連心線，公共弦可以聯(lián)通兩圓中的弦、角關系，而連心線則垂直平分公共弦。全等三角形作輔助線的常用方法一、 在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明，如：例 已知如圖11：D、E為△ABC內(nèi)兩點,求證:AB+ACBD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC 于M、N， （法二：圖12） 延長BD交 AC于F，廷長CE交BF于G，二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖21：已知D為△ABC內(nèi)的任一點，求證：∠BDC∠BAC。分析：因為∠BDC與∠BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于 在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點E證法二：連接AD，并廷長交BC于F注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三 角 形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖31：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CFEF。分析：要證BE+CFEF ，可利用三角形三邊關系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1=∠2， ∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，注意：當證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應性質(zhì)得到相等元素。四、 有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖41：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CFEF證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接 CM，MF。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、 在三角形中線時，常廷長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖51：AD為 △ABC的中線，求證：AB+AC2AD。分析：要
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