全等三角形中的常用輔助線(經(jīng)典)(編輯修改稿)
2025-05-13 23:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。解答過程：證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180176。－60176。－40176。=80176。，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80176。，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70176。，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70176。，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實(shí)質(zhì)都是對三角形作了一個以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。（5）截長法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6：如圖甲，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD+BC。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補(bǔ)短法。2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。解答過程：證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180176。，∴∠DCE+∠CDE=90176。，∴∠2+∠3=90176。，∠1+∠4=90176。，∴∠3=∠4。在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補(bǔ)短法：截長：在長線段
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