【文章內(nèi)容簡介】 C′=∠QPC?！摺螼PB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180176。，∴∠OPB+∠QPC=90176。∵∠BOP+∠OPB=90176。，∴∠BOP=∠CPQ。又∵∠OBP=∠C=90176。，∴△OBP∽△PCQ?！?。由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11－t，CQ=6－m．∴。∴（0＜t＜11）。（Ⅲ）點P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）。【分析】（Ⅲ）首先過點P作PE⊥OA于E，易證得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的長，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與，即可求得t的值： 過點P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90176?！唷螾C′E+∠EPC′=90176。∵∠PC′E+∠QC′A=90176。，∴∠EPC′=∠QC′A?！唷鱌C′E∽△C′QA?！??！逷C′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m，∴?！??！?，即，∴，即。將代入，并化簡，得。解得：。∴點P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）。例3.（2012湖南岳陽3分）如圖，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點，且AD=AB，DF∥BC，E為BD的中點．若EF⊥AC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為　 ▲ ?。敬鸢浮?5。【分析】如圖，過D點作DG⊥AC，垂足為G，過A點作AH⊥BC，垂足為H，∵AB=AC，點E為BD的中點，且AD=AB，∴設(shè)BE=DE=x，則AD=AF=4x?！逥G⊥AC，EF⊥AC，∴DG∥EF，∴，即，解得?！逥F∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得DF=4。又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，∴Rt△DFG∽Rt△ACH，∴，即，]解得。在Rt△ABH中，由勾股定理，得?！?。又∵△ADF∽△ABC，∴，∴∴。例4. （2011山東淄博4分）如圖，正方體的棱長為3，點M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC與NM的延長線交于點P，則tan∠NPH的值為 ▲ ．【答案】。【考點】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)?！痉治觥俊逤M＝DM，HN＝2NE，∴CM＝CD，HN＝HE＝CD，又∵△PCM∽△PHN，∴，即PH＝2CH＝2CD?！鄑an∠NPH＝。六、構(gòu)造特殊四邊形：通過構(gòu)造平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四邊形，應(yīng)用它們邊、角、對角線、中位線的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012貴州遵義3分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于F點，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長為【 】A． B． C． D．【答案】B?！痉治觥窟^點E作EM⊥BC于M，交BF于N?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90176。，AD=BC，∵∠EMB=90176。，∴四邊形ABME是矩形?！郃E=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，∠EGN=∠A=90176。，∴EG=BM?！摺螮NG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）。∴NG=NM?！逧是AD的中點，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM?！逧M∥CD，∴BN：NF=BM：CM。∴BN=NF。∴NM=CF=。∴NG=?！連G=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣?！郆F=2BN=5∴。故選B。例2. （2012四川德陽3分） 如圖，點D是△ABC的邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不與點B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點P、E在直線AB的同側(cè)），如果，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為【 】A. B. C. D.【答案】D。【分析】過點P作PH∥BC交AB于H，連接CH，PF，PE?！逜PBE，∴四邊形APEB是平行四邊形。∴PEAB。，∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴EFBD?！郋F∥AB?！郟，E，F(xiàn)共線。設(shè)BD=a，∵，∴PE=AB=4a?！郟F=PE﹣EF=3a?！逷H∥BC，∴S△HBC=S△PBC?！逷F∥AB，∴四邊形BFPH是平行四邊形?！郆H=PF=3a。∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4。故選D。例3.（2012安徽省5分）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是SSSS4，給出如下結(jié)論： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，則S4=2 S2 ④若S1= S2，則P點在矩形的對角線上其中正確的結(jié)論的序號是 ▲ （把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）.【答案】②④?！痉治觥咳鐖D，過點P分別作四個三角形的高，∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，∴此時兩三角形的高的和為AB，∴S1+S3=S矩形ABCD；同理可得出S2+S4=S矩形ABCD?！啖赟2+S4= S1+ S3正確，則①S1+S2=S3+S4錯誤。若S3=2 S1，只能得出△APD與△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故結(jié)論③錯誤。如圖，若S1=S2，則PFAD=PEAB，∴△APD與△PBA高度之比為：PF：PE =AB：AD 。∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90176。，∴四邊形AEPF是矩形，∴矩形AEPF∽矩形ABCD。連接AC?！郟F：CD =PE ：BC=AP：AC，即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。∴△APF∽△ACD?！唷螾AF=∠CAD。∴點A、P、C共線?！郟點在矩形的對角線上。故結(jié)論④正確。綜上所述，結(jié)論②和④正確。例4.（2012廣西貴港8分）如圖，在□ABCD中，延長CD到E，使DE＝CD，連接BE交AD于點F，交AC于點G。（1）求證：AF＝DF；（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60176。，求FG的長?！敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖1，連接BD、AE， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD。∵DE＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE。∴四邊形ABDE是平行四邊形。∴AF＝DF。（2）如圖2，在BC上截取BN＝AB＝1，連接AN， ∵∠ABC＝60176。，∴△ANB是等邊三角形。∴AN＝1＝BN，∠ANB＝∠BAN＝60176。∵BC＝2AB＝2，∴CN＝1＝AN。∴∠ACN＝∠CAN＝60176。＝30176?！唷螧AC＝90176。由勾股定理得：AC＝＝?！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴AB∥CD?！唷鰽GB∽△CGE?！啵剑?。∴＝，解得AG＝。在△BGA中，由勾股定理得：BG＝＝。∵＝，∴GE＝，BE＝＋＝2。∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BF＝BE＝?！郌G＝－＝。例5.（2012江蘇常州7分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂直平分線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF。求證：AE=AF?！敬鸢浮孔C明：連接CE?！逜D∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO。 又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）?！郃E=CF?！嗨倪呅蜛ECF是平行四邊形。又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形?！郃E=AF?！究键c】菱形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。例6.（2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN.（1）求證：△AND≌△CBM.（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由？（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連結(jié)PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的長度.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。 ∴∠DAC=∠BCA。 又由翻折的性質(zhì)，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。 ∴△AND≌△CBM（ASA）。（2）證明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。 又由翻折的性質(zhì)，得DN=FN，BM=EM， ∴FN=EM。 又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC， ∴FN∥EM。∴四邊形MFNE是平行四邊形。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得∠CEM=∠B=900，∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。∴FM＞EM。∴四邊形MFNE不是菱形。（3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。 設(shè)DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC得3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=。過點N作NH⊥AB于H，則HM=4－3=1。在△NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=?！逷Q∥MN，DC∥AB，∴四邊形NMQP是平行四邊形。∴NP=MQ，PQ= NM=。又∵PQ=CQ，∴CQ=。在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1?！郚P=MQ=?！郟C=4－－=2?！究键c】翻折問題，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。七、構(gòu)造圓的特殊圖形：通過構(gòu)造圓的特殊圖形，應(yīng)用圓周角定理、垂徑定理、切線與過切點的半（直）徑的關(guān)系、兩圓相切公切線的性質(zhì)、兩圓相交公共弦的性質(zhì)等，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例3.（2012