全等三角形經(jīng)典輔助線做法匯總(編輯修改稿)
2025-07-13 21:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 C上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是 ； 此時 ； （II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）．（三）其它幾種常見的形式：有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形。例：如圖1：已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF。有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。例：：如圖2：AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BE＋CF＞EF 練習：已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4， 求證EF＝2AD。 延長已知邊構造三角形：例如：如圖6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，求證：AD＝BC連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖7：AB∥CD，AD∥BC 求證：AB=CD。有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90176。，∠1＝∠2，CE⊥BD的延長于E 。求證：BD＝2CE 6連接已知點，構造全等三角形。例如：已知：如圖9；AC、BD相交于O點，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。九、取線段中點構造全等三有形。例如：如圖10：AB＝DC，∠A＝∠D 求證：∠ABC＝∠DCB。 參考答案與提示一、倍長中線（線段）造全等例（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.解：延長AD至E使AE＝2AD，連BE，由三角形性質(zhì)知ABBE 2ADAB+BE 故AD的取值范圍是1AD4例如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.解：(倍長中線,等腰三角形“三線合一”法)延長FD至G使FG＝2EF，連BG，EG,顯然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三線合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性質(zhì)知EGBG+BE 故：EFBE+FC例如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE. 解：延長AE至G使AG＝2AE，連BG，DG,顯然DG＝AC， ∠GDC=∠ACD由于DC=AC，故 ∠ADC=∠DAC在△ADB與△ADG中， BD＝AC=DG，AD＝AD，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE應用：（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關系及數(shù)量關系．（1）如圖① 當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關系是 ；（2）將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(090)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變？并說明理由．解：（1），；證明：延長AM到G，使，連BG，則ABGC是平行四邊形GCHABDMNE∴，又∵∴再證：∴，延長MN交DE于H∵∴∴（2）結論仍然成立．證明：如圖，延長CA至F，使，F(xiàn)A交DE于點P，并連接BF∵，∴FCPABDMNE∵在和中∴（SAS）∴，∴∴又∵，∴，且∴，二、截長補短如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC解：（截長法）在AB上取中點F，連FD△ADB是等腰三角形，F(xiàn)是底AB中點，由三線合一知DF⊥AB，故∠AFD＝90176?！鰽DF≌△ADC（SAS）∠ACD＝∠AFD＝90176。即：CD⊥AC如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA，CD過點E，求證。AB＝AD+BC解：（截長法）在AB上取點F，使AF＝AD，連FE△ADE≌△AFE（SAS）∠ADE＝∠AFE，∠ADE+∠BCE＝180176?！螦FE+∠BFE＝180176。故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE（AAS）故有BF＝BC從而。AB＝AD+BC如圖，已知在△ABC內(nèi)，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP解：（補短法, 計算數(shù)值法）延長AB至D，使BD＝BP，連DP在等腰△BP
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