【正文】 且AD=AB，DF∥BC，E為BD的中點(diǎn)．若EF⊥AC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為　 ▲ ?。敬鸢浮?5?！痉治觥咳鐖D，過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC，垂足為G，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC，垂足為H，∵AB=AC，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，且AD=AB，∴設(shè)BE=DE=x，則AD=AF=4x。∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得DF=4。在Rt△ABH中，由勾股定理，得。又∵△ADF∽△ABC，∴，∴∴?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)。∴tan∠NPH＝。）；（3）小紅的連衣裙穿在衣架后的總長(zhǎng)度達(dá)到122cm，垂掛在曬衣架上是否會(huì)拖落到地面？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：176。≈，176。將這兩張紙條交叉重疊地放在一起，重合部分為四邊形ABCD，則AB與BC的數(shù)量關(guān)系為 ▲ . 6. （2011山西省3分）如圖，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)是 ▲ 。典型例題：例1. （2012貴州遵義3分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交CD于F點(diǎn)，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長(zhǎng)為【 】A． B． C． D．【答案】B。【分析】過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于M，交BF于N。AD=BC，∵∠EMB=90176?！郃E=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，∠EGN=∠A=90176。∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）?！逧是AD的中點(diǎn)，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM。∴BN=NF?！郚G=?！郆F=2BN=5∴。例2. （2012四川德陽(yáng)3分） 如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)），如果，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為【 】A. B. C. D.【答案】D。【分析】過(guò)點(diǎn)P作PH∥BC交AB于H，連接CH，PF，PE。∴PEAB?！郋F∥AB。設(shè)BD=a，∵，∴PE=AB=4a?！逷H∥BC，∴S△HBC=S△PBC。∴BH=PF=3a。故選D?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，相似【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作四個(gè)三角形的高，∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，∴此時(shí)兩三角形的高的和為AB，∴S1+S3=S矩形ABCD；同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。若S3=2 S1，只能得出△APD與△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故結(jié)論③錯(cuò)誤。∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90176。連接AC。∴△APF∽△ACD?！帱c(diǎn)A、P、C共線。故結(jié)論④正確。例4.（2012廣西貴港8分）如圖，在□ABCD中，延長(zhǎng)CD到E，使DE＝CD，連接BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G。求FG的長(zhǎng)?！逥E＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE?！郃F＝DF。∴△ANB是等邊三角形?！連C＝2AB＝2，∴CN＝1＝AN。＝30176。由勾股定理得：AC＝＝?！唷鰽GB∽△CGE。∴＝，解得AG＝?！撸剑郍E＝，BE＝＋＝2?！郌G＝－＝?！痉治觥浚?）連接AE、BD、根據(jù)AB∥CD，AB＝CD＝DE，得出平行四邊形ABDE，即可推出答案。由勾股定理求出AC，根據(jù)△AGB∽△CGE，得出＝＝，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根據(jù)□BDEA求出BF，即可求出答案。求證：AE=AF?！逜D∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO?！郃E=CF。又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形?！究键c(diǎn)】菱形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定可得四邊形AECF是平行四邊形。根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)和AE=AF。且AB=4，BC=3，求PC的長(zhǎng)度.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。 又由翻折的性質(zhì)，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。（2）證明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。 又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC， ∴FN∥EM。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得∠CEM=∠B=900，∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。∴四邊形MFNE不是菱形。 設(shè)DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC得3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=。在△NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=?！郚P=MQ，PQ= NM=。在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1?！郟C=4－－=2?！痉治觥浚?）由矩形和翻折對(duì)稱的性質(zhì)，用ASA即可得到△AND≌△CBM。 （3）設(shè)DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。因此，在△CBQ中，應(yīng)用勾股定理求得BQ=1。例7. （2011山東泰安10分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90176。又∵AD∥DC，∴四邊形AECD為平行四邊形。∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO。（2）證明：連接DE，∵AD平行且等于BE，∴四邊形ABED是平行四邊形， 又∠ABE=90176。∴GE=GA=GB=GD=BD=AE?！郋F=BD=GD，GE=CD=DF?！嗨倪呅蜤FDG是菱形?！痉治觥浚?）由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD，可證得四邊形AECD為平行四邊形，即可得△AOE∽△COF。可證得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形和三角形中位線的性質(zhì)，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形。AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，則CD＝ ▲ cm． 4.（2012湖北黃岡3分）如圖，在梯形ABCD 中，AD∥BC ，AD=4，AB=CD=5，∠B=60176。AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連結(jié)EF．（1）證明：EF=CF；（2）當(dāng)時(shí)，求EF的長(zhǎng)．6. （四川自貢10分） 如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于點(diǎn)O，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F為垂足．設(shè)DC=m，AB=n． (1)求證：△ACB≌△BDA； (2)求四邊形DEFC的周長(zhǎng)．七、構(gòu)造圓的特殊圖形：通過(guò)構(gòu)造圓的特殊圖形，應(yīng)用圓周角定理、垂徑定理、切線與過(guò)切點(diǎn)的半（直）徑的關(guān)系、兩圓相切公切線的性質(zhì)、兩圓相交公共弦的性質(zhì)等，達(dá)到求證（解）的目的。【考點(diǎn)】圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義。設(shè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為a。根據(jù)勾股定理，得AB=BP1=。根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等的性質(zhì)，得∠ABP=∠ABP。故選A。那么∠θ= ▲ ．【答案】180?！痉治觥咳鐖D，連接CE，DE， ∵過(guò)A、C 、D三點(diǎn)的圓的圓心為E，過(guò)B、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為D， ∴AE=CE=DE=DB。 ∵∠A=63176。 又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ，∴∠AEC=∠ECD＋∠DBE=3∠θ，即3∠θ=540。例4.（2012湖北鄂州3分）如下圖OA=OB=OC且∠ACB=30176。 176。 176?！究键c(diǎn)】圓周角定理。 作⊙O。 ∴根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半的性質(zhì)，得∠AOB=60176。 例5.（2012天津市3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)A、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)E，以頂點(diǎn)C、D為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為 ▲ ．【答案】?！痉治觥窟B接AE，BE，DF，CF?！噙匒B上的高線為：。延長(zhǎng)EF交AB于N，并反向延長(zhǎng)EF交DC于M，則E、F、M，N共線。同理：點(diǎn)F在DC的垂直平分線上?！郙N⊥AB，MN⊥DC。∴EF＋2EM=AD=1，EF＋EM=，解得EF=。【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，圓周角定理?！咚倪呅蜲ABC是矩形，∴∠BCO=90176?！唷螧OC=60176。例7.（2012江西南昌12分）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時(shí)，求O′A的長(zhǎng)度； ②如圖2，當(dāng)折疊后的經(jīng)過(guò)圓心為O時(shí)，求的長(zhǎng)度； ③如圖3，當(dāng)弦AB=2時(shí)，求圓心O到弦AB的距離；（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．①如圖4，當(dāng)AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦AB．CD的距離之和為d，求d的值；②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】解：（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，∴O′A=OA=2?！摺鱋O′A，△OO′B為等邊三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60176。=120176。③如圖3所示，連接OA，OB，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB為等邊三角形。=。（2）①如圖4，當(dāng)折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB交AB于點(diǎn)H、交于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G、交于點(diǎn)F，即點(diǎn)E、H、P、O、G、F在直徑EF上。根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH=PE，PG=PF。②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行時(shí)，四邊形是OMPN平行四邊形?！哒郫B后的與所在圓外切，∴連心線O′O″必過(guò)切點(diǎn)P?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）相切兩圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，解直角三角形，三角形中位線定理。②如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可。（2）①如圖4，與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，根據(jù)垂徑定理及折疊，可求點(diǎn)O到AB．CD的距離之和。練習(xí)題：1. （2012江蘇泰州3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50176。 B．45176。 D．60176。則∠BCD的度數(shù)為【 】A．35176。 C．55176。4.（2012山東棗莊3分）如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,5)和點(diǎn)O (0,0)，B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則cos∠OBC 的值為【 】A． B． C． D．5（2012湖南岳陽(yáng)6分）如圖所示，在⊙O中，弦AB與弦AC交于點(diǎn)A，弦CD與AB交于點(diǎn)F，連接BC．（1）求證：AC2=AB?AF；（2）若⊙O的半徑長(zhǎng)為2cm，∠B=60176。則∠ACB的度數(shù)是【　　】A．80176。 C．120176。8.（2012黑龍江大慶6分） 如圖△ABC中，BC=3，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，若D是AC中點(diǎn)，∠ABC=120176。OC=3，則的長(zhǎng)為【 】　　A．π　　B．2π　　C．3π　　D．5π10.（2012廣西南寧3分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心作半圓，使它與AB，AC都相切，切點(diǎn)分別為D，E，則⊙O的半徑為【 】A．8　　　　B．6 　　　　C．5 　　　　D．4 11.（2012陜西省8分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，點(diǎn)M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足為N．（1）求證：OM=AN；（2）若⊙O的半徑R=3，PA=9，求OM的長(zhǎng)． 12.（2012浙江麗水、金華8分）如圖，AB為⊙O的直徑，EF切⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)C，連接BD．(1)求證：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圓心O到BC的距離．八、基本輔助線：基本輔助線包括連接兩點(diǎn)的線段、平行線、垂直線、角平分線等，如連接直角三角形直角頂點(diǎn)與斜邊的中點(diǎn)構(gòu)成斜邊上的中線；過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)作另一邊的平行線構(gòu)成三角形的中位線；過(guò)三角形一頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂直線構(gòu)成直角三角形；連接圓上一點(diǎn)和直徑的兩端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形；等等?！唷螦BD=∠DCA（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)。例3.（2012黑龍江牡丹江3分）如圖．點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE．請(qǐng)寫(xiě)出圖中的全等三角形 ▲ (寫(xiě)出一對(duì)即可)．【答案】△ABD≌△ACE（答案不唯一）?！痉治觥咳鐖D，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，則 ∵AB=AC，AD=AE（已知），∴BH=CH，DH=EH（等腰三角形三線合一）?！唷鰽BD≌△ACE（SSS）。例4.（2012貴州貴陽(yáng)3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90176。DE=1，則EF的長(zhǎng)是【 】A．3 B．2 C． D．1【答案】B?！痉治觥窟B接AF，∵DF是AB的垂直平分線，∴AF=BF?！螧=∠FAB=90176。=60176?！唷螧AC=30176。﹣30176?！逥E=1，∴AE=2DE=2?！郋F=AE=2。例5.（2012四川宜賓3分）如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，點(diǎn)E、F分別為AB．AD的中點(diǎn)，則△AEF與多邊形BCDFE的面積之比為【 】　 A． B． C． D． 【答案】C?！痉治觥咳鐖D，連接BD，過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB交BD于點(diǎn)G，連接EG，