八年級幾何輔助線專題訓練-閱讀頁
2025-04-08 02:14本頁面
【正文】 立。(1)當繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。解：(計算數(shù)值法)（1）連接DC， D為等腰斜邊AB的中點，故有CD⊥AB，CD＝DACD平分∠BCA＝90176。由于DM⊥DN，有∠EDN＝90176。從而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DF（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1例3 如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為 ；解：(圖形補全法, “截長法”或“補短法”, 計算數(shù)值法) AC的延長線與BD的延長線交于點F，在線段CF上取點E，使CE＝BM∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120176。+30176。∠DCE=180176?！螦BD=90176。60176?！咴凇鱀MN和△DEN中， ∠MDN=∠EDN=60176。 DN=DN∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中， ∠MDA=60176?！螹DB=60176?！螩DE=∠EDF (∠CDE=∠BDM) ∠DAM=∠DFE=30176。證明圖2，延長DC至點K，使，連接BKKABCDEFMN圖 2則∴，∵，∴∴∴∴∴∴即圖3不成立，AE、CF、EF的關系是（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當∠APB=45176。(2)當∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應∠APB的大小.分析：（1）作輔助線，過點A作于點E，在中，已知，AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有兩種解法，解法一：可將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，求PD長即為求的長，在中，可將的值求出，在中，根據(jù)勾股定理可將的值求出；解法二：過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的長，進而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；（2）將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，PD的最大值即為的最大值，故當、P、B三點共線時，取得最大值，根據(jù)可求的最大值，此時．EPADCB解：（1）①如圖，作于點E∵中，∴∵∴在中，∴P′PACBDE②解法一：如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，∴，∴，∴；解法二：如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設DA的延長線交PB于G．GFPACBDE在中，可得，在中，可得，在中，可得（2）如圖所示，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn),得到，PD的最大值，即為的最大值∵中，且P、D兩點落在直線AB的兩側(cè)∴當、P、B三點共線時，取得最大值（如圖）P′PACBDP′PACBD此時，即的最大值為6此時在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,BD=DC. 探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系．圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是 ； 此時 ； （II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）．分析：（1）如果，因為，那么，也就有，直角三角形MBD、NCD中，因為，根據(jù)HL定理，兩三角形全等。延長AC至E，使，連接DE．（1）中我們已經(jīng)得出，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，因此兩三角形全等，那么，．三角形MDN和EDN中，有，有一條公共邊，因此兩三角形全等，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因為，因此．Q與L的關系的求法同（1），得出的結果是一樣的。 26
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