論文標題：淺談初中幾何中添加輔助線的技巧(編輯修改稿)
2025-07-13 06:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 腦的，根本不知道從何入手。導致這樣的原因，其實歸根到底就是很多學生平時做完習題后不善于總結解題的規(guī)律和方法。對于這種題型，我們應該從要證明等量關系的這三條線段是否共線入手，如果是共線，那就非常簡單，不用在這里多說，但我們遇到的題 EAB CNMDFG H目往往是不共線，那怎么辦呢？在這里常用的方法是通過等量代換，將這三條線段轉化到同一直線上，采用“截長補短”的方法 即可證明。 結合例 2，我們來看看是如何想到這樣添加輔助線的，這是最關鍵的一步。 AC、 AE、 CD 這三條線段中， AC 最長， AE、 CD 稍短，而題目要證明 AC=AE+CD，這時我們很自然會想到將長邊 AC 截成兩段較短的邊 AF、 CF，接著只要證明較短的兩邊分別與 AE、 CD 相等即可。這時不妨先在 AC上截取 AF=AE，接著只需證明 CD=CF 即可，換句話來說就是先設定好一對等量關系，再利用這對等量關系去推理創(chuàng)造出更多的有利條件，用以證明剩下的一對等量關系。如何證明 CD=CF 呢？證明線段相等，很自然想到用例 1講到的方法：構造全 等三角形來證明，怎么構造呢？這時很容易會想到連接 OF 了。這種“截長補短”的方法在這種類型的證明題中是經(jīng)常用到的方法，我們平時應該多總結和體會。 三、證明線段成比例 例 3：已知：如圖，過△ ABC 的頂點 C任作一條直線，與邊 AB及中線 AD分別交于點 F 和 E。求證： AE：ED=2AF： FB。 分析：要證明線段成比例，通常用到相似三角形對應邊成比例這個性質，但結合題意并沒有出現(xiàn)相似的條件，故無法證明，這時容易想到通過添加輔助線來構造所需的條件，如何添加？我們不難會想到可以通過引平行線構造相似三角形的基本圖形“ A” “ X”型。 證法 1： 過 D 作 DG∥ CF，交 AB于點 G ， 則 △ AEF∽△ DDG, △ BDG∽△ BCF ∴ AE:ED=AF:FG,BG:BF=BD:BC ∵ 點 D是 BC 的中點 ∴ BD:BC=1:2 ∴ BG:BF=BD:BC=1:2 ∴ FG= BF/2 ∴ AE:ED=AF:（ BF/2） ∴ AE:ED=2AF:FB 證法 2：過點 B作 BN∥ CF交 AD的延長線于點 N,則 △ AEF∽△ ANB, △ BDN∽△ CDE, ∴ AE:EN=AF:FB,BD:CD=ND:DE ∵ 點 D是 BC 的中點 ∴ BD:CD=1:1 ∴ ND:DE=BD:CD=1:1 ∴ EN=2ED DAB CEF∴ AE:EN=AE:2ED=AF:FB ∴ AE:ED=2AF:FB 證法 3：過點 B作 BM∥ AD交 CF的延長線于點 M,則 △ AEF∽△ BMF（“ X”型） , △ CED∽△ CMB（“ A”型） 證明略 證法 4：過點 D作 DH∥ AB交 CF的于點 M,則 △ DHE∽△ AFE（“ X”型） , △ CHD∽△ CFB（“ A”型） 證明略 技巧總結： 對于證明線段成比例這種類型題目，學生往往感覺比較迷惘，不知所措，原因是要證明成比例的線段往往不是已知的兩個相似三角形的對應邊，或者它們只是兩個表 面上完全沒有關系的三角形的邊，甚至它們不是三角形的邊，就像本例子：要證明的四條邊 AE、 ED、 AF、 F
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