線性系統(tǒng)的根軌跡法(編輯修改稿)
2025-06-10 02:12 本頁面
【文章內容簡介】 s s ss s s? ? ????3 1 0 .5s? ? 1( ) 3 1 0 .50 .2 5Q s sR? ? ??1( ) 3 10. 5Q s ss s s?????3?? 9?余 2 9R ??1212RssR?? 729? ? ? ? ??所以，分離點為 。 2( ) 3 1 2 5P s s s? ? ? ? ?(2)牛頓余數(shù)定理法 *23 1 2 5dK ssds ? ? ? ?*() ( 1 ) ( 5 )K KGs s s s? ??法則 6. 根軌跡的起始角和終止角 ??ipq起始 (出射 )角 θpi ： 起始于 開環(huán)復數(shù)極點 的根軌跡在起點處的切線與 正實軸 的夾角。 11( 2 1 ) ( ) 。 0 , 1 , 2 . . .i j i j imnp z p p pjjjikkq ? ? q???? ? ? ? ? ? ???終止 (入射 )角 ? zi： 終止于 開環(huán)復數(shù)零點 的根軌跡在終點處的切線與 正實軸 的夾角。 iz?11( 2 1 ) ( ) 。 0 , 1 , 2 . . .i j i j imnz z z p zjjjikk? ? ? q???? ? ? ? ? ? ???例 ，試確定根軌跡離開復數(shù)共軛極點的 起始 角。 p1=1+j1， p2=1j1， p3=0， p4=3， z1=2 ?????1p2p4p 3p1z1?1pq4q 3q1?1?1 ( 2 1 ) 4 5 9 0 1 3 5 2 6 . 6 2 2 6 . 6p kkq ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?根據(jù)對稱性，可知 p2點的 起始 角為： 注意： ?相角要注意符號：逆時針為正，順時針為負； ?注意矢量的方向。 解： tan? 1=1 ? 1=45176。 θ2=90176。 θ3=135176。 tanθ4= θ4=176。 取 k=0(考慮到周期性 )： θp1= 176。 θp2 = θp1= 176。 * ( 1 . 5 ) ( 2 ) ( 2 )() ( 2 . 5 ) ( 0 . 5 1 . 5 ) ( 0 . 5 1 . 5 )K K s s j s jGs s s s j s j? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?例 7[例 43].系統(tǒng) 開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)概略根軌跡。 ： 解： 1 2 3 41 2 30 , 2 . 5 , 0 . 5 1 . 5 , 0 . 5 1 . 51 . 5 , 2 , 2p p p j p jz z j z j? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?： ： nm=1，只有一條 180o漸近線。 ： 無分離點。 (－ ∞， ] [， 0] ? ? ? ? 176。 90176。 59 176。 37 176。 19 176。 176。 4 2 1 5 6 5 1 9 5 9 1 00 8 5 9 0 3 7 7 9q? ( ) [ ( . ) ( . ) ] ( )p kk? ? ? ? ? ? ? ? ? 取起始角： 和終止角 ： ? ? ? ? 90 176。 121 176。 153 176。 199 176。 176。 117 176。 3 2 1 9 0 1 1 7 6 3 5 1 5 3 1 9 9 1 2 1 5 1149?? ( ) [ ( ) ( . ) ] . ( )z kk? ? ? ? ? ? ? ? ? 取終止角： 概略根軌跡圖 法則 7. 根軌跡與虛軸的交點 根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對純虛根，這時的增益稱為 臨界根軌跡增益 。 交點和 臨界根軌跡增益 的求法： (1)由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解； (2)令 s=jw，代入閉環(huán)特征方程中，使實、虛部分別為零，求出 w 和 K*。 解： 方法一 3 2 *6 5 0j j Kw w w? ? ? ? ?2*36050Kwww? ? ? ??? ?? ? ???*() ( 1 ) ( 5 )k KGs s s s? ??例 8. ，試求根軌跡與虛軸的交點。 *0 , 50 , 30Kw? ????????K*=0 w =0 舍去 (根軌跡的起點 ) *12 5 ( 3 0 )s j j Kw? ? ? ?， 此時與虛軸的交點 : * 3 2 *( 1 ) ( 5 ) 6 5 0s s s K s s s K? ? ? ? ? ? ? ?閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為： s=jw 方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定 交點 的值。 勞斯表： 3*2*10*15630060sKsKssK ? s2的輔助方程： 2 * 26 6 30 0s K s? ? ? ?1 , 2 5s j jw? ? ?K* =30 當 s1行等于 0時， 特征方程可能出現(xiàn)純虛根。 *3006 K? ?即 法則 8. 根之和 當 nm≥2時： 11nniiiisp?????? 常數(shù)對于任意的 K* 閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和為常數(shù)。 表明： 當 K*變化時，部分閉環(huán)極點在復平面上向右移動 (變大 )，則另一些極點必然向左移動 (變小 )。 該規(guī)則的作用： (1)定性判斷根軌跡的走向； (2)已知幾個閉環(huán)根可以求出其他一個或兩個根。 小結 需掌握繪制根軌跡的 8個準則 ?根軌跡的起點和終點； ?根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性； ?實軸上根軌跡； ?根軌跡的漸近線； ?根軌跡的分離點與分離角； ?根軌跡的 起始角和終止角； ?根軌跡與虛軸的交點 ； ?根之和。 (縱、橫坐標用相同的比例尺 )； ； ； 起始角和終止角 ； ； ； 結合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的分支數(shù)、起始點和終點、根之和等性質畫出根軌跡。 根軌跡作圖步驟 )22)(3()()( 2*????ssssKsHsG例 9[例 44]系統(tǒng) 開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)概略根軌跡。 2 1 1 8 0 4 5 1 3 54?() ,ak ? ???? ? ? ?： 0 3 1 11 2 54s .a jj? ? ? ? ?? ? ?： 347 1 6 7 1 6qq ..pp??? ? ? ： 1 2 3 , 40 , 3 , 1p p p j? ? ? ? ? ?： 解： [3， 0] ： 1 1 1 1 03 1 1d d d j d j? ? ? ?? ? ? ? ? ??： 4 3 25 8 6 0*()D s s s s s K? ? ? ? ? ?勞斯表： 4321018563452 0 4 2 5034****sKssKKssK?當 s1行等于 0時， 特征方程可能出現(xiàn)純虛根。
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