線性系統(tǒng)的根軌跡法-文庫吧
2025-04-29 02:12 本頁面
【正文】 ? ???3p4p2p 1p2z法則 3. 實軸上的根軌跡 如果實軸上某一區(qū)域的 右側(cè) 的實數(shù)開環(huán)零點、極點個數(shù)之和為 奇數(shù) ，則該區(qū)域?qū)嵼S必是根軌跡。 [證明 ] ?2s?3s?1s p p4的向量的相角之和 q 1+q 2=0176。 z z2的向量的相角之和 q 3+q4=0176。 p2的向量的相角為 0176。 p1的向量的相角為 180176。 s1點滿足根軌跡相角條件，因此 [p2 , p1]為實軸上的根軌跡。 s s3 ：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點。 試驗點 s1點 3q4q1q2q例 ： 試求實軸上的根軌跡。 * ( 1 ) ( 2 )() ( 3 ) ( 4 )K K s sGs s s s??? ??解 ： 零極點分布如下： p1=0， p2=3， p3=4， z1=1， z2=2 實軸上根軌跡為： [1， 0]、 [3， 2]和 ( ∞ ， 4] jw s o o 法則 4. 根軌跡的漸近線 nm時： nm條根軌跡沿著 漸近線 趨向無窮遠(yuǎn)處。 與實軸 的 交點： 11nmijijapznms ???????( 2 1 ) 0 , 1 , ..., 1ak k n mnm?? ?? ? ? ??與實軸 的 夾角： ??180as1??mn0 ??90?90?2??mnas 0 ?60?60??1803??mn?as 0 ?45?45?4??mn?as0 例 ： ，試確定根軌跡分支數(shù)、起點和終點。若終點在無窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實軸的交點和夾角。 () ( 1 ) ( 5 )K KGs s s s?? ??解 ： 根軌跡有 3條； 起點為 開環(huán)極點： p1=0， p2=1， p3=5； 因無有限值零點，所以 3條根軌跡 都趨向無窮遠(yuǎn)。 與實軸的交點： 11nmijijapznms ???????( 2 1 ) 60 , 18 0 , 30 0aknm?? ? ? ?????與實軸 的 夾角： 零極點分布和漸近線如圖所示： ????60?60??18001?2?5? ?15 23??? ? ?法則 5. 根軌跡的分離點與分離角 若干根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。 分離點在兩極點之間，會合點在兩零點之間。閉環(huán)特征方程有重根。 ???AB 1p2p1z* 0K ?* 0K ?*K ??*K ??jw 2 1 1 2 1 2 s 分離點 A分離點 B會合點 分離角： ( 2 1 )dkl?q ?? l根軌跡分支數(shù) 求取分離點的方法 1111mniijid z d p???????(1)試探法： 若系統(tǒng)無有限零點： ????ni ipd101C ( s )R ( s )123* ()( ) ( )Kss s s???例 3[例 41].系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示， 試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。 ： 1 2 3 10 2 3 1p p p z? ? ? ? ? ? ?， ， ，解： C ( s )R ( s )123* ()( ) ( )Kss s s???90( 2 1 )2702ak ?? ????? ???： ( 0 2 3 ) ( 1 )231as ? ? ? ?? ? ??： [3,2] [1,0] ： 實軸區(qū)域 [2,3] 必有一個根軌跡的分離點 d， d 滿足分離點方程： 1 1 1 11 2 3d d d d? ? ?? ? ?解得： 2 ??(2)極值法 *0dKds ?* ()()DsKNs? ? ?*2( ) ( ) ( ) ( ) 0()d K D s N s N s D sd s N s?? ?? ? ?1 ( ) 0KGs??( ) ( ) ( ) ( ) 0D s N s N s D s????(3)牛頓余數(shù)定理法 步驟： (1)求出 ； *dKds(2)設(shè) ； ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P s D s N s N s D s????(3)在其分離點可能出現(xiàn)的實軸坐標(biāo)附近找一試探點 s1 ； *2( ) ( ) ( ) ( ) 0()d K D s N s N s D sd s N s?? ?? ? ?(4)用 (ss1)去除 P(s)，得到商 Q(s)、余數(shù) R1 ； (5)用 (ss1)去除 Q(s)，得到余數(shù) R2 ； (6)計算 s2 =s1R1/R2 ； (7)將 s2 作為新的試探點重復(fù)步驟 (4)~(6)。 例 牛頓余數(shù)定理法 確定例 3的分離點。 32* 561s s sKs?????* 3 2 3 22( 5 6 ) ( 1 ) ( 5 6 ) ( 1 )( 1 )d K s s s s s s s sd s s??? ? ? ? ? ? ????解： 3222 8 1 0 6( 1 )s s ss? ? ????C ( s )R ( s )123* ()( ) ( )Kss s s???32( ) 2 8 1 0 6P s s s s? ? ? ? ?因 [ 3, 2]內(nèi)必有分離點，所以選 s1=。 321( ) 2 8 1 0 62 .5P s s s ss s s? ? ????22 3 ? ? ? 0. 25余21( ) 2 3 2 .50 .2 5Q s s sR? ? ???21( ) 2 3 2 .52 .5Q s s ss s s?????22s?? 2 ?1212RssR?? ?? ? ? ? ?所以，分離點為 。 ? ?1?5? 0?例 5. 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： *() ( 1 ) ( 5 )K KGs s s s? ??試確定實軸上根軌跡的分離點。 解： 實軸上根軌跡區(qū)間是： (∞,5] [ 1, 0] 120 . 4 7 2 53 . 5 2 7 5ss? ? ? ? ???顯然，分離點為 ，而 。 *1 ( ) 1 0( 1 ) ( 5 )K KGs s s s? ? ? ???閉環(huán)特征方程為： * 3 2( 1 ) ( 5 ) ( 6 5 )K s s s s s s? ? ? ? ? ? ? ?*2( 3 1 2 5 ) 0dK ssds ? ? ? ? ???(舍去 ) (1)極值法 因 [ 1, 0]內(nèi)必有分離點，所以選 s1=。 21( ) 3 1 2 50 . 5P
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