n維向量,向量間的線性關(guān)系(編輯修改稿)
2025-06-03 18:11 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?證 ：1 2 312( ) ( ) ,2.R A R B ? ? ? ?? ? ?????因 此 ， 向 量 能 由 向 量 組 ， ，線 性 表 示 。 且 表 達(dá) 式 為 例 判斷向量 β1=(4,3,1,11)與 β2=(4,3,0,11)是否各為向量組 a1=(1, 2, 1, 5), a2=(2, 1, 1, 1)的線性組合 . 若是 , 寫出表達(dá)式 . 解 : 設(shè) k1 ? 1 + k 2 ? 2 = ? ? , 對(duì)矩陣 1 2 1( , , )T T Tα α β 施以初等行變換 : 1 2 11 2 42 1 3( , , )1 1 15 1 11T T T????????????????α α β213121251 2 40 5 50 3 3099rrrrrr????????????????????23242391 2 40 1 10 0 00 0 0rrrrr????????????????1221 0 20 1 10 0 00 0 0rr??????????????因此 b1可由 a1,a2線性表示 , 且由上面的初等變換可知 k1=2, k2=1使 b1=2a1+a2. 秩 1 2 1( , , )T T T? ?α α 秩 12( , )TTα α = 2 . 12121 1 2 2 : , , , , , , 0mmmmAk k kk k k? ? ?? ? ?? ? ? ?給 定 向 量 組 如 果 存 在不 全 為 零 的 數(shù) 使1 2 32 , 1 , 1 , 2 0 .? ? ?? ? ? ?使12( 1 , 0, 1 ) , ( 1 , 2, 2 ) ,TT??? ? ?例 如 , 向 量 組定義 3 線性相關(guān)的概念 則稱向量組 是 線性相關(guān) 的，否則稱它 線性無(wú)關(guān) ． A 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) 3 ( 1 , 2, 4 ) ,T? ? 是 線 性 相 關(guān) 的 因 為 有 不 全 為 零 的 數(shù)1 1 2 2 k k? ? ?? ? ? ?12, , , ,mn ? ? ?維 單 位 坐 標(biāo) 向 量 組 是 線 性 無(wú) 關(guān) 的12, , , mk k k因 為 存 在 不 全 為 零 的 數(shù) , 使換 句 話 說(shuō) ， 若 有1 1 2 2 0,mmk k k? ? ?? ? ? ?12( , , , ) ( 0 , 0 , , 0)mk k k ?即 得 ， 則 有0 ( 1 , 2 , , )ik i n?? ，12, , , .mk k k即 全 為 零 3. , 0 , 0 , .? ? ?????向 量 組 只 包 含 一 個(gè) 向 量 時(shí) 若 則 說(shuō)線 性 相 關(guān) 若 則 說(shuō) 線 性 無(wú) 關(guān)4 . .包 含 零 向 量 的 任 何 向 量 組 是 線 性 相 關(guān) 的 5 . ,.對(duì) 于 含 有 兩 個(gè) 向 量 的 向 量 組 它 線 性 相 關(guān) 的充 要 條 件 是 兩 向 量 的 分 量 對(duì) 應(yīng) 成 比 例 ， 幾 何 意 義是 兩 向 量 共 線 ； 三 個(gè) 向 量 相 關(guān) 的 幾 何 意 義 是 三 向量 共 面注意 : 1211 1 2 2 1 . , , , ,0, 0 .nnnn? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?若 線 性 無(wú) 關(guān) 則 只 有 當(dāng) 時(shí) 才 有 成 立2 . ,任 一 向 量 組 不 是 線 性 無(wú) 關(guān) 就 是 線 性 相 關(guān) .定理 關(guān)于向量的線性相關(guān)與線性表示之間的相互關(guān)系 ,有下面的定理 : 1212, , , ( 2), , ,1mmnmm? ? ?? ? ???維 向 量 組 線 性 相 關(guān)的 充 分 必 要 條 件 是 中 有 一 個(gè) 向 量 可 由其 余 個(gè) 向 量 線 性 表 示 .,. 與 向 量 的 線 性 表 示 一 樣 向 量 組 的 線 性 相 關(guān) 性 也 可 用矩 陣 的 秩 來(lái) 判 別1212, , ,( , , , ) , ( ) .mmA m R A m? ? ?? ? ??? 向 量 組 線 性 相 關(guān) 的 充 分 必 要條 件 是 定 理 3.矩 陣 的 秩小 于 即 （ 證 略 ）1212, , ,( , , , ) .1 mmnRm? ? ?? ? ? ?維 向 量 組 線 性 無(wú) 關(guān) 的 充 分 必 要 條 件是 推 論1212, , ,2| , , , | 0 .nnn ? ? ?? ? ? ?維 向 量 組 線 性 無(wú) 關(guān) 的 充 分 必 要 條 件是 推 論12 ,.3 , mm n n ? ? ??當(dāng)推 論 時(shí) ， 維 向 量 組 必 線 性 相 關(guān).下 面 舉 例 說(shuō) 明 定 理 的 應(yīng) 用 ? ? ? ?? ?121 , 0, , 0 , 0, 1 , , 0 ,0, 0, , 1 ,.TTTnn e een???維 向 量 組 ， 稱 為 維 單 位 坐 標(biāo) 向 量 組 討 論 其 線 性 相 關(guān) 性例12 ( , , , ).nnE e e en? 解 維 單 位 坐 標(biāo) 向 量 組 構(gòu) 成 的 矩 陣是 階 單 位 矩 陣( ) 2.RE即 等 于 向 量 組 中 向 量 個(gè) 數(shù) ， 故 由 推 論 知 此向 量 組 是 線 性 無(wú) 關(guān) 的 1 2 31 2 3( 2 , 2 , 7 , 1 ) ( 3 , 1 , 2 , 4 ) ( 1 , 1 , 3 , 1 )( 3 , 2 , 5 , 4 ) ( 3 , 1 , 3 , 3 ) ( 3 , 5 , 1 3 , 1 1 ) .T T TT T T? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?討 論 下 列 向 量 組 的 線 性 相 關(guān) 性 :(1) ， ，例 ，(2) ， ，1 2 32 3 12 1 1( 1 ) ( , , )7 2 31 4 1? ? ????????????????解 141 4 12 1 17 2 32 3 1rr???????????????????2131412721 4 10 7 30 30 100 11 3rrrrrr????????????????????2131412721 4 10 4 00 30 100 11 3rrrrrr???????????????????1 2 31 2 3( 2 , 2 , 7 , 1 ) ( 3 , 1 , 2 , 4 ) ( 1 , 1 , 3 , 1 )( 3 , 2 , 5 , 4 ) ( 3 , 1 , 3 , 3 ) ( 3 , 5 , 1 3 , 1 1 ) .T T TT T T? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?討 論 下 列 向 量 組 的 線 性 相 關(guān) 性 :(1) ， ，例 ，(2) ， ，1 2 32 3 12 1 1( 1 ) ( , , )7 2 31 4 1? ? ????????????????解 32421521141 4 10 4 00 0 100 0 3rrrr????????????????????1 2 3 1 2 3, ( , , ) 3 , , ,R ? ? ? ? ? ??所 以 故 向 量 組 線 性 無(wú) 關(guān) .2131412721 4 10 4 00 30 100 11 3rrrrrr???????????????????
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