1673向量組的線(xiàn)性相關(guān)性(編輯修改稿)
2024-11-04 19:09 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 4 2 0 ,2 0 ,3 5 4 0 ,40x x xx x xx x xx x x? ? ???? ? ? ???? ? ??? ? ? ??首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 18 因 r = 2 3 (未知量個(gè)數(shù) ), 故方程組有非零解 , 從而 ?1 , ?2 , ?3 線(xiàn)性相關(guān) . 2 4 21 2 13 5 41 4 1A????? ? ???????????0 4 40 2 20 7 71 4 1?????????????????1 4 10 1 10 0 00 0 0??????????????系數(shù)矩陣 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 19 由上述兩個(gè)例子，可以得到用定義判別向量組 ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain ) , i = 1, 2, … , s 的線(xiàn)性相關(guān)性的方法是： 設(shè)有 s 個(gè)數(shù) x1 , x2 , … , xs , 使 x1?1 + x2?2 + ... + xs?s = 0 . 該向量方程所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性方程組為 11 1 21 2 112 1 22 2 21 1 2 20,0,0,ssssn n sn sa x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 20 若線(xiàn)性方程組 有非零解，則向量組 ?1 , ?2 , … , ?s 線(xiàn)性相關(guān)； 若它只有零解，則向量組 ?1 , ?2 , … , ?s 線(xiàn)性無(wú)關(guān) . 11 1 21 2 112 1 22 2 21 1 2 20,0,0,ssssn n sn sa x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ?? 于是判斷 ?1 , ?2 , … , ?s 線(xiàn)性相關(guān)性問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為 判斷相應(yīng)的方程組有無(wú)非零解問(wèn)題 . 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 21 12( 1 , 0 , 0 , , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 , , 0 ) , ( 1 , 1 , 14, , 1 )nn ??????維 向 量 組是 線(xiàn) 性 例無(wú) 關(guān) 的 .即有 1220,0,0,nnnx x xxxx? ? ? ???? ? ????? ??因系數(shù)行列式 1 1 10 1 1100 0 1??方程組有唯一零解 , 12, , , n? ? ?故 線(xiàn) 性 無(wú) 關(guān) .首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 1 2 2 0nnx x x? ? ?? ? ? ?證 設(shè) 22 思考題 :下列論斷哪些是對(duì)的 ,哪些是錯(cuò)的 .如果是對(duì)的 ,請(qǐng)證明 。如果是錯(cuò)的 ,請(qǐng)舉出反例 . 121 1 2 2121. 0 ,0, , ,rrrrk k kk k k? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?如 果 當(dāng) 時(shí)那 么 線(xiàn) 性 無(wú) 關(guān) . 1 2 1 12 1 2 12 . , , , , , , , , , , , .rrr r r? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???如 果 線(xiàn) 性 無(wú) 關(guān) 而 不 能 由線(xiàn) 性 表 出 那 么 線(xiàn) 性 無(wú) 關(guān) 123 . , , , ,.r? ? ?如 果 線(xiàn) 性 無(wú) 關(guān) 那 么 其 中 每 一 個(gè)向 量 都 不 是 其 余 向 量 的 線(xiàn) 性 組 合首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 23 例 5 設(shè)向量組 ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain ) , i = 1, 2, … , s 線(xiàn)性無(wú)關(guān) , 那么在每一個(gè)向量上添一個(gè)分量所得到 的 n + 1 維的向量組 ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain , ai, n+1) , i = 1, 2, … , s 也線(xiàn)性無(wú)關(guān) . ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain ) , i = 1, 2, … , s 證 因?yàn)橄蛄拷M 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以它對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性方程組 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 24 11 1 21 2 112 1 22 2 21 1 2 20,0,( 1 )0,ssssn n s n sa x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??只有零解 . 要證向量組 ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain , ai, n+1) , i = 1, 2, … , s 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，只需證明它對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性方程組 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 25 只有零解 . 因?yàn)榉匠探M (2) 中的前 s 個(gè)方程即為方程組 (1) , 所以方程組 (2) 的解全是方程組 (1) 的解， (1) 只有零解 , 因而方程組 (
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