小二乘法ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-26 01:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的個數(shù) )，從而可求解出這些未知參數(shù)。這個有確定解的代數(shù)方程組稱為最小二乘法估計的 正規(guī)方程 (或稱為法方程 )。 1．線性參數(shù)的最小二乘法處理的基本程序 線性參數(shù)的最小二乘法處理程序可歸結(jié)為：（ 1）根據(jù)具體問題列出誤差方程式；（ 2）按最小二乘法原理，利用求極值的方法將誤差方程轉(zhuǎn)化為正規(guī)方程；（ 3）求解正規(guī)方程，得到待求的估計量；（ 4）給出精度估計。對于非線性參數(shù)，可先將其線性化，然后按上述線性參數(shù)的最小二乘法處理程序去處理。 建立正規(guī)方程是待求參數(shù)最小二乘法處理的基本環(huán)節(jié)。2．等精度測量的線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程 線性參數(shù)的誤差方程式為最小二乘法處理的正規(guī)方程為 （ 519） 這是一個 t元線性方程組．當(dāng)其系數(shù)行列式不為零時，有唯一確定的解，由此可解得欲求的估計量 線性參數(shù)正規(guī)方程的矩陣形式 正規(guī)方程 (5—19) 組，還可表示成如下形式 表示成矩陣形式為 線性參數(shù)正規(guī)方程的矩陣形式（ 521） 又因 有 即 （ 522） 若令 則正規(guī)方程又可寫成 （ 522） （ 523） 若矩陣 C是滿秩的，則有 的數(shù)學(xué)期望 因式中 Y、 X為列向量 (n 1階矩陣和 tl階矩陣 ) 可 見 是 X的無偏估 計 。 其中矩陣元素 Y1， Y2， … ， Yn為直接量的真值，而Xl， X2， … ， Xn為待求量的真值。 例 5—1 在不同溫度下，測定銅棒的長度如下表，試估計 0℃ 時的銅棒長度 y0和銅的線膨脹系數(shù) α。 解：（ 1）列出誤差方程式中 , li—— 在溫度 ti下銅棒長度的測得值； α—— 銅的線膨脹系數(shù)。 令 y0＝ a， αy0=b為兩個待估計參量，則誤差方程可寫為 (2) 列出正規(guī)方程為計算方便，將數(shù)據(jù)列表如下： 將表中計算出的相應(yīng)系數(shù)值代人上面的正規(guī)方程得（ 3）求出待求估計量 求解正規(guī)方程解得待求估計量即按矩陣形式解算由正規(guī)方程，有則所以（ 4）給出實驗結(jié)果銅棒長度 yt隨溫度 t的線性變化規(guī)律為3．不等精度測量的線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程 ? 不等精度測量時線性參數(shù)的誤差方程仍如上述式 (5—9) 一樣，但在進行最小二乘法處理時，要取加權(quán)殘余誤差平方和為最小，即 用矩陣表示的正規(guī)方程與等精度測量情況類似，可表示為 （ 527） 即上述正規(guī)方程又可寫成（ 528） 該方程的解，即參數(shù)的最小二乘法處理為（ 529） 令則有 （ 530） 例 5—2? 某測量過程有誤差方程式及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差如下： 試求 x1， x2的最小二乘法處理正規(guī)方程的解。 解：（ 1）首先確定各式的權(quán)（ 2）用表格計算給出正規(guī)方程常數(shù)項和系數(shù)（ 3）給出正規(guī)方程（ 4）求解正規(guī)方程組解得最小二乘法處理結(jié)果為四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系為了確定一個量 X的估計量 x，對它進行 n次直接測量，得到 n個數(shù)據(jù) l1， l2， … ， ln，相應(yīng)的權(quán)分別為 p1， p2， … ， pn，則測量的誤差方程為(535)其最小二乘法處理的正規(guī)方程為 (536)由誤差方程知 a＝ l，因而有可得最小二乘法處理的結(jié)果 (537)這正是不等精度測量時加權(quán)算術(shù)平均值原理所給出的結(jié)果。對于等精度測量有 則由最小二乘法所確定的估計量為此式與等精度測量時算術(shù)平均值原理給出的結(jié)果相同。 由此可見，最小二乘法原理與算術(shù)平均值原理
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