小二乘法ppt課件-在線瀏覽
2025-06-16 01:03本頁面
【正文】 Y有一批觀測數(shù)據(jù)： {xi， yi} ， i＝ 1， 2， …,n ，要利用這批數(shù)據(jù)在一定法則之下作出這些參數(shù) a1， a2， … ， ak的估計。在等精度觀測的情況下，即認為各誤差服從相同的正態(tài)分布 N(0， σy)。 解決這類問題最常用的方法就是最小二乘法。 一般根據(jù)測量的實際情況，可假設變量 X的測量沒有誤差 (或與 Y的誤差相比很小，可略去 )，而變量 Y的測量有誤差，故關于 Y的觀測值 yi可以寫成這里 y0i表示 xi對于的 Y的變量真值， △ i表示相應的測量誤差。 用式子表示時，記殘差 νi為最小二乘法就是要求 =最小在這個條件下，利用數(shù)學中求極值的方法可以求出參數(shù) ， ， … ， 。 正規(guī)方程 ? 根據(jù)數(shù)學分析中求函數(shù)極值的條件： =最小共得 k個方程，稱 正規(guī)方程 ，求此聯(lián)立方程的解可得出諸參數(shù)估計值 (j＝ 1， 2， … ， k)。用式子表示就是要使 =最小其中， wi為各觀測值 yi的權。這里 σ2為任選的正常數(shù)，它表示單位權方差。 最小二乘法 的 幾何意義 從幾何圖形上可看出 ,最小二乘法就是要在穿過各觀測點 (xi， yi)之間找出這樣一條估計曲線，使各觀測點到該曲線的距離的平方和為最小。 觀測值不服從正態(tài)分布時的最小二乘估計 實質上，按最小二乘條件給出最終結果能充分地利用誤差的抵償作用，可以有效地減小隨機誤差的影響，因而所得結果具有最可信賴性。但應該指出，在有些問題中觀測值雖然不服從正態(tài)分布，但當樣本容量很大時，似然函數(shù)也趨近于正態(tài)分布，因此，這時使用最小二乘法和最大似然法實質也是一致的。但觀測值不服從正態(tài)分布或其分布未知時，這時用最小二乘法顯得缺乏理論的驗證。這稱為高斯 — 馬爾可夫定理 。期望值為 n－ k。由于測量的實際問題中大量的是屬于線性的，而非線性參數(shù)借助于級數(shù)展開的方法可以在某一區(qū)域近似地化成線性的形式。 一、線性參數(shù)的測量方程一般形式 線性參數(shù)的測量方程一般形式為 （ 57） 相應的估計量為（ 58） 誤差方程其誤差方程為（ 59） 二、線性參數(shù)的誤差方程式的矩陣形式設有列向量 和 nt階矩陣 (n＞ t) 則線性參數(shù)的誤差方程式 (5—9) 可表示為 即 （ 510） 等精度測量最小二乘原理的矩陣形式即或（ 511） （ 512） 殘余誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為 不等精度測量最小二乘原理的矩陣形式最小二乘原理的矩陣形式為 或（ 514） （ 513） 式中的 P為 nn階權矩陣。三、線性參數(shù)最小二乘法的正規(guī)方程 為了獲得更可取的結果，測量次數(shù) n總要多于未知參數(shù)的數(shù)目 t，即所得誤差方程式的數(shù)目總是要多于未知數(shù)的數(shù)目。 最小二乘法則可以將誤差方程轉化為有確定解的代數(shù)方程組 (其方程式數(shù)目正好等于未知數(shù)的個數(shù) )，從而可求解出這些未知參數(shù)。 1．線性參數(shù)的最小二乘法處理的基本程序 線性參數(shù)的最小二乘法處理程序可歸結為：（ 1）根據(jù)具體問題列出誤差方程式；（ 2）按最小二乘法原理，利用求極值的方法將誤差方程轉化為正規(guī)方程；（ 3）求解正規(guī)方程，得到待求的估計量；（ 4）給出精度估計。 建立正規(guī)方程是待求參數(shù)最小二乘法處理的基本環(huán)節(jié)。 其中矩陣元素 Y1， Y2， … ， Yn為直接量的真值，而Xl， X2， … ， Xn為待求量的真值。 解：（ 1）列出誤差方程式中 , li—— 在溫度 ti下銅棒長度的測得值；
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