計算方法課件第六章最小二乘法與曲線擬合(編輯修改稿)
2025-06-14 02:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1(00 nkxf Pk ?????因為 ),2,1,(2)(2122112ntkaaaaaaaaxxQNiitikNtNktktktk?????????????故 AAaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaMTNiinNiiniNiiniNiiniNiiniNiiiNiiNiiiNiiniNiiiNiiiNii22121312111213212212111131121121?????????????????????????????????????????????????????? 由引理 2知，當(dāng) rankA=n時，矩陣 M是對稱正定陣， M滿足引理 1的條件（ 2），故由引理 1知，二次函數(shù) Q存在極小值。 又因方程組（ *）式有唯一解，故 Q存在的極小值就是最小值，線性方程組（ *）式的解就是最小值點。 證畢 Remark1：線性方程組（ *）式稱為正則方程組 。 Remark2：該定理說明，只要矛盾方程組的系數(shù)矩陣A的秩 rankA=n，則 （ 1）矛盾方程組的最小二乘解存在； （ 2）正則方程組有唯一解，此解就是矛盾方程組的最小二乘解。 計算步驟 ： （ 1）判斷方程組的秩是否滿足 rankA=n？ （ 2）寫出正則方程組； （ 3）求解正則方程組，其解就是矛盾方程組的最小二乘解。 一、曲線擬合模型 確定曲線的類型： 一般選取簡單的低次多項式。 定義 ： 依據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)選擇一條 “ 最好 ” 的簡單曲線作為一組離散數(shù)據(jù) 的連續(xù)模型 。 ? ?Niii yx 0),( ?167。 多項式擬合 求一個次數(shù)不高于 N－ 1次的 多項式： )1()( 2210 ???????? Nmxaxaxaaxy mm??（其中 a0,a1,… ,am待定），使其 “ 最好 ” 的擬合這組數(shù)據(jù)。 “ 最好 ” 的標(biāo)準(zhǔn)是：使得 ?(x)在 xi的偏差 ),2,1()( Niyx iii ???? ??的平方和 ? ????????NiiiNii yxQ1212 )(??達到最小 。 由于擬合曲線 y=?(x)不一定過點 (xi,yi)，因此，把點 (xi,yi)帶入 y=?(x) ，便得到以 a0,a1,… ,am為未知量的矛盾方程組 ??????????????????????NmNmNNmmmmyxaxaxaayxaxaxaayxaxaxaa????22102222221011212110其矩陣形式為 bxA ?? ?其中 ??????????????????????????????????????
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