第5－8課時(shí)數(shù)列問(wèn)題的題型與方法(編輯修改稿)
2025-04-21 06:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 01年全國(guó)理)從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，本年度投入800萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加。(Ⅰ)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，bn的表達(dá)式(Ⅱ)至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?解析：第1年投入800萬(wàn)元，第2年投入800（1）萬(wàn)元……，第n年投入800（1－）n－1萬(wàn)元所以總投入an＝800＋800（1－）＋……＋800（1－）n－1＝4000［1－（）n］同理：第1年收入400萬(wàn)元，第2年收入400（1＋）萬(wàn)元，……，第n年收入400（1＋）n－1萬(wàn)元bn＝400＋400（1＋）＋……＋400（1＋）n－1＝1600［（）n－1］(2)∴bn－an＞0，1600［（）n－1］－4000［1－（）n］＞0化簡(jiǎn)得，5（）n＋2（）n－7＞0設(shè)x＝（）n，5x2－7x＋2＞0∴x＜，x＞1（舍)即（）n＜，n≥5.說(shuō)明：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)用題重點(diǎn)在過(guò)好三關(guān)：（1）事理關(guān)：閱讀理解，知道命題所表達(dá)的內(nèi)容；（2）文理關(guān)：將“問(wèn)題情景”中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件；（3）數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，并解答這一數(shù)學(xué)模型，得出符合實(shí)際意義的解答。例5．設(shè)實(shí)數(shù)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，記，求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意自然數(shù)都有=解：。記①②①+②得③說(shuō)明：本例主要復(fù)習(xí)利用錯(cuò)位相減解決差比數(shù)列的求和問(wèn)題。關(guān)鍵是先研究通項(xiàng)，確定是等差數(shù)列，等比數(shù)列。解法一：設(shè)等差數(shù)列{a}的首項(xiàng)a=a，公差為d，則其通項(xiàng)為根據(jù)等比數(shù)列的定義知S≠0，由此可得一步加工，有下面的解法)解法二：依題意，得例7．設(shè)二次方程x+1x+1=0(n∈N)有兩根α和β，且滿足6α2αβ+6β=3．(1)試用表示a；例8．在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列。⑴求點(diǎn)的坐標(biāo)；⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。⑶設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，求的通項(xiàng)公式。解：（1）（2）的對(duì)稱軸垂直于軸，：把代入上式，得，的方程為：。，=（3），T中最大數(shù).設(shè)公差為，則，由此得說(shuō)明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問(wèn)運(yùn)用幾何知識(shí)算出，解決（3）的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。例9．?dāng)?shù)列中，且滿足⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵設(shè)，求；⑶設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時(shí)，故（3）若對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題。例10．如圖，在y軸的正半軸上依次有點(diǎn)其中點(diǎn)，且，在射線上依次有點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），且⑴用含的式子表示；⑵用含的式子表示的坐標(biāo)；⑶求四邊形面積的最大值。解：（1），（2）由（1）得的坐標(biāo)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列（3）連接，設(shè)四邊形的面積為，則單調(diào)遞減.的最大值為.說(shuō)明：本例為數(shù)列與幾何的綜合題。由題意知為等比，為等差，（3）利用函數(shù)單調(diào)性求最值。例11．設(shè)正數(shù)數(shù)列{a}為一等比數(shù)列，且a=4，a=16．說(shuō)明：這是2000年全國(guó)高考上海試題，涉及對(duì)數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題，主要考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，對(duì)數(shù)計(jì)算，求數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．例12．已知拋物線，過(guò)原點(diǎn)作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，又過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，再過(guò)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，如此繼續(xù)，一般地，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)．（Ⅰ）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列．（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大?。猓海?）因?yàn)椤⒃趻佄锞€上，故①②，又因?yàn)橹本€的斜率為，即，①②代入可得，故是以為公比的等比數(shù)列；（2），故只要比較與的大小．方法（一），當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)； 當(dāng)時(shí)，．方法（二）用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中假設(shè)時(shí)有,則當(dāng)時(shí),.a)，…是公差為1的等差數(shù)列，又2aa，2aa，…，2aa，…(1)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；(2)計(jì)算(a+a+…+a)．分析：由于題設(shè)中的等差數(shù)列和等比數(shù)列均由數(shù)列{an}的相關(guān)項(xiàng)構(gòu)成，分別求出它們的通項(xiàng)公式構(gòu)造關(guān)于a的方程組．
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