數(shù)列問題中的數(shù)學(xué)思想方法(編輯修改稿)
2025-09-01 07:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2）當時，；綜合（1）（2）可知。點評：此例從分的體現(xiàn)了與的關(guān)系中隱含了分類討論思想，其理由是中腳碼必須為正整數(shù)。例8．已知{}是公比為q的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列. （Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）設(shè){}是以2為首項，q為公差的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，當n≥2時，比較Sn與bn的大小，并說明理由.解：（Ⅰ）由題設(shè) （Ⅱ）若當 故若當故對于例9．（江西卷）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn－Sn－2=3求數(shù)列{an}的通項公式.解：方法一：先考慮偶數(shù)項有： ……… 同理考慮奇數(shù)項有：……… 綜合可得例10． 設(shè)等比數(shù)列的公比為，前n項和。（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)，記的前n項和為，試比較與的大小。解：（Ⅰ）因為是等比數(shù)列，當上式等價于不等式組： ①或 ②解①式得q1；解②，由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得－1q1.綜上，q的取值范圍是（Ⅱ）由得于是又∵0且－10或0當或時即當且≠0時，即當或=2時，即四、 化歸與轉(zhuǎn)化的思想我們在處理數(shù)學(xué)問題時，常常將待解決的問題通過轉(zhuǎn)化，化歸成為一類我們比較熟悉問題來解決。例11． 已知數(shù)列的首項，前n項和為，且，求的通項公式。分析與略解：當n≥2時。兩式相減，得?？梢娛枪葹?的等比數(shù)列。又 ，得 ，則 。因此 。兩邊同除以，得（常數(shù)），可見是首項為，公差為的等差數(shù)列。因此，從而。評析：本例通過兩次化歸，第一次把數(shù)列化歸為等比數(shù)列，第二次把數(shù)列化歸為等差數(shù)列，隨著化歸的進行。問題降低了難度。例12．設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且（n=1,2,3…），求通項。分析與略解：則已知有。由為正項數(shù)列，知，故有。（*）方法1（疊乘法）：由（*）有。利用 ，得 方法2（疊加法）：由（*）式，記，則。利
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