【文章內(nèi)容簡介】 質(zhì)數(shù)合數(shù) 數(shù)形結(jié) 合 思想 典型 案例之七 1 1 1 1 1+ + + +2 4 8 1 6 3 2計算 ： ＝ 121418116132132數(shù)形結(jié) 合 思想 典型 案例之八 1 1 1 1 1+ + + +2 4 8 1 6 3 2計算 ： ＝ 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 “1” 數(shù)形結(jié) 合 思想 典型 案例之八 長 寬 面積 長方形的面積 =長 寬 數(shù)量 總價 總價 =單價 數(shù)量 單價 數(shù)形結(jié)合思想典型案例 之九 —— 面積法 （二）解決問題 問題：學(xué)校食堂買來一些大米。計劃吃 8天，實際每天比計劃多吃 5千克，結(jié)果提前 2天就吃完了。你能算出原計劃每天吃多少千克嗎？ 總 千克數(shù) =每天吃的千克數(shù) 天數(shù) 長方形的 面積 = 長 寬 數(shù)形結(jié)合思想典型案例 之九 —— 面積法 （二）解決問題 問題：學(xué)校食堂買來一些大米。計劃吃 8天，實際每天比計劃多吃 5千克，結(jié)果提前 2天就吃完了。你能算出原計劃每天吃多少千克嗎？ 總 千克數(shù) =每天吃的千克數(shù) 天數(shù) 提前2天吃完 多吃 5千克 計劃吃 8天 A B 原計劃每天吃多少千克？ 數(shù)形結(jié)合思想典型案例 之九 —— 面積法 一個正方形，一條邊減少 20%，另一條增加 2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米 數(shù)形結(jié)合思想典型案例 之九 —— 面積法 一個正方形，一條邊減少 20%，另一條增加 2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米 數(shù)形結(jié)合思想典型案例 之九 —— 面積法 一個正方形，一條邊減少 20%，另一條增加 2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米 減少20% 2米 數(shù)形結(jié)合思想典型案例 之九 —— 面積法 一個正方形，一條邊減少 20%，另一條增加 2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米 減少20% 2米 減少 1/5，把正方形的邊長平均分成五份，減少其中 1份，還剩下4份 數(shù)形結(jié)合思想典型案例 之九 —— 面積法 一個正方形，一條邊減少 20%，另一條增加 2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米 1份 2米 4份 B A C 數(shù)形結(jié)合思想典型案例 之九 —— 面積法 A、 B、 C、 D、 E進行象棋比賽，每兩人之間都要賽一盤。到現(xiàn)在為止， A已經(jīng)賽了 4盤， B賽了 3盤， C賽了 2盤， D賽了 1盤，請問 E已經(jīng)賽了幾盤？ 數(shù)形結(jié)合思想典型案例 之十 —— 邏輯推理 數(shù)形結(jié)合詩 數(shù)形本是相依偎， 焉能紛作兩邊飛 . 數(shù)缺形時少直觀， 形少數(shù)時難入微 . 數(shù)形結(jié)合百般好， 割裂分家萬事休 . 幾何代數(shù)統(tǒng)一體， 永遠聯(lián)系莫 分離 . 華羅庚 ? 數(shù)學(xué)語言所包含的信息量的大小，直接影響著數(shù)學(xué)思維的質(zhì)量。 ? 運用各種簡潔的符號對問題進行抽象表達，既能以濃縮的形式表達大量信息，大大簡化了數(shù)學(xué)運算或推理的過程，加快了數(shù)學(xué)思維的速度，更能去偽存真，抓住問題的本質(zhì)和關(guān)鍵。 ? 因此，在數(shù)學(xué)中，人們大量地運用符號。幾乎所有的數(shù)學(xué)表述用語，包括公理、定理、法則、公式、概念等都是一串串符號鏈，而數(shù)學(xué)研究的過程就是把一個符號鏈變換成另一個符號鏈。 符號化思想 一 、 數(shù)學(xué)抽象的思想 ? 符號就是數(shù)學(xué)存在的具體化身。英國著名數(shù)學(xué)家羅素甚至說：?什么是數(shù)學(xué) ? 數(shù)學(xué)就是符號加邏輯。? 符號化思想 一 、 數(shù)學(xué)抽象的思想 途徑之一 1．認識已有的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。 符號化思想 一 、 數(shù)學(xué)抽象的思想 小學(xué)階段的數(shù)學(xué)符號 ? 數(shù)值符號： ? 阿拉伯?dāng)?shù)字 0－ 9 ? 數(shù)量符號： ? x、 a、 π…… （常量、變量、未知數(shù)） ? 關(guān)系符號： ? = ≈ ? 運算符號： ? ＋ － 247。 ： （ ） [ ] ? 符號組合：代數(shù)式、 方程、字母公式、復(fù)合單位 ? 還有一些特例： ? 統(tǒng)計領(lǐng)域：統(tǒng)計圖 正字統(tǒng)計法、用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小 （ 1）理解數(shù)學(xué)符號的含義和實質(zhì)。 （ 2）經(jīng)歷符號化的過程。 （ 3） 適當(dāng)滲透一些符號化通用規(guī)則。 途徑之一 1．認識已有的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。 例：速度時間路程 例：負數(shù) 符號化思想 一 、 數(shù)學(xué)抽象的思想 倍的認識 線段圖 ? 第一小組得了 5個笑臉， ? 第二小組得的笑臉數(shù)是第一小組的 3倍， ? 第二小組得了多少個笑臉？ 符號化思想 一 、 數(shù)學(xué)抽象的思想 （ 1）理解數(shù)學(xué)符號的含義和實質(zhì)。 （ 2）經(jīng)歷符號化的過程。 （ 3） 適當(dāng)滲透一些符號化通用規(guī)則。 （ 1）尊重學(xué)生原發(fā)思維的同時，鼓勵符號的優(yōu)化。 途徑之一 1．認識已有的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。 途徑之二 2．嘗試用符號化的思想進行數(shù)學(xué)思考。 （ 2）強化符號化過程的規(guī)則意識。 符號化思想 一 、 數(shù)學(xué)抽象的思想 打電話 ? 例：一下統(tǒng)計 √ √ √ √ √ √ √ 2 3 4 2 正 ? 典型案例 ? 角 的初步認識 ? 數(shù)學(xué) 廣角：搭配的學(xué)問 ? 用 字母表示數(shù) ? 長方形 、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓、圓柱、圓錐的周長、面積和體積的計算公式推導(dǎo) ? 比 和比例 ? 用 字母表示數(shù) ? 解放 程求未知數(shù) X ? 加法交換律 、結(jié)合律、乘法。 ? 乘法交換律 、結(jié)合律、分配律 ? 列 方程解應(yīng)用題 ? 解 比例 ? 環(huán)形 面積字母公式。 基本 思想二： 推 理 思想 什么是推理？ 推理 是人們思維活動的過程，是根據(jù)一個或 幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程。 推 理 合情推理 演繹推理 歸納 類比 由 某類 事物 的 具有 某些特征 , 推出該類 事物 的 都 具有這些特征 的推理 ,或者 由 概括出 的推理 ,稱為歸納推理 (簡稱歸納 ). 部分對象 全部對象 個別事實 一般結(jié)論 歌德巴赫猜想的提出過程： 3＋ 7＝ 10， 3＋ 17＝ 20， 13＋ 17＝ 30， “ 任何一個不小于 6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和 ” 即 :偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù) 改寫為 :10＝ 3＋ 7， 20＝ 3＋ 17， 30＝ 13＋ 17． 6＝ 3+3， 1000＝ 29+971， 8＝ 3+5， 1002=139+863, 10＝ 5+5, … 12＝ 5+7， 14＝ 7+7， ? ， 歌德巴赫猜想 : ? 從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理。 數(shù)學(xué)推理的思想 派生出的有： 歸納推理； 演繹推理； 聯(lián)想與類比的思想； 公理化思想； 化歸思想； 逐步逼近的思想； …… 問題 A 問題 A’ 解答 A 解答 A’ 化歸 還原 化歸思想 除數(shù)是小數(shù)的除法 —— 除數(shù)是整數(shù)的除法 求多邊形內(nèi)角和 —— 幾個三角形內(nèi)角總和