【文章內(nèi)容簡介】 單熟悉的問題，以便運用一致的理論、方法和技術使問題得以解決．事實上，數(shù)學證明一般要歸納為某些中間定理上去，只是指出待證問題可以歸納入哪個問題的證明或由哪些已證定理或成果來證明，實質(zhì)上也是一種化歸過程.例6 解方程.思考與分析 此題如果等價變形為 需要分類討論，問題比較復雜.如果通過原等式兩邊平方（非等價變換），解完后再驗根，則簡單的多.解：等式兩邊同時平方得化簡整理得 ,而=0 無解；由 得 ，解得 經(jīng)驗根知，原方程有解 . 有限與無限思想數(shù)學課程標準中指出：“有限與無限相比，有限顯得具體，無限顯得抽象，對有限的研究往往先于對無限的研究，當對有限的研究有了一定的定理、定律，而對于無限的研究，卻往往無處著手，于是人們對于無限的研究往往轉(zhuǎn)化為對有限的研究，當積累了無限的經(jīng)驗后，可以利用無限的方法來解決有限的問題，這種有限化無限，無限化有限的解決數(shù)學問題的方法叫做有限與無限思想.”考試中心對高考考試大綱的說明中指出：“雖然開始學習的數(shù)學都是有限數(shù)學，但其中也包含無限成分，只不過沒有進行深入的研究.”在學習有關數(shù)及其有關運算的過程中，對自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)的學習都是研究有限個數(shù)的運算，但實際上各數(shù)集內(nèi)的元素個數(shù)都是無限的，，使得中學階段對于無限的研究又上了一個新的臺階，集中體現(xiàn)了有限與無限的數(shù)學思想，，如果我們具有無限與有限的數(shù)學思想，用有限與無限的數(shù)學思想解決問題，這樣有些題目就會達到事半功倍的效果. 有限探求無限將無限的問題轉(zhuǎn)為有限的問題，進而通過研究有限來解決無限的問題.例7 證明質(zhì)數(shù)有無窮多個.解：假設質(zhì)數(shù)只有有限個，不妨設有個，設為.現(xiàn)在考慮一個新數(shù)，若是質(zhì)數(shù)，則一定是一個與不同的質(zhì)數(shù)，這與質(zhì)數(shù)只有個矛盾。若是合數(shù)，則一定有一個質(zhì)因數(shù)，此時能整除，但中的每一個都不能整除，故是不同于的另一個質(zhì)數(shù)，這仍與質(zhì)數(shù)只有個矛盾.故假設不成立，原結論成立. 無限探求有限在學習了函數(shù)極限，函數(shù)的導數(shù)之后，我們就可以利用極限的有關定理性質(zhì)去解決一些有限的問題.例8 設，求證：（1）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值.（2）當時，恒有解：（1），那么 ，所以，. 故（0,2）2（2，+）F′()0+F()極小值F（2）所以在(0,2)內(nèi)是減函數(shù)，在上是增函數(shù).故在處取得極小值為.（2）因為，則且由（1）可知對于，都有 所以當時，恒有.故 ，即 所以，當時，恒有 或然與必然的思想我們面臨的數(shù)學問題，既有必然性的，有兩個基本的特征，一是結果的不確定性，也就是說隨機現(xiàn)象的每次實驗結果人們無法準確的得知的，這就是偶然；二是隨機現(xiàn)象在大量的重復試驗后，每個實驗結果發(fā)生的頻率是基本穩(wěn)定的，這就是必然，：用或然來估計必然,用必然回答或然,利用整個或然與必然的體系去解決其它的非概率問題. 或然估計必然大家都知道，隨機試驗中的某一事件A是否發(fā)生在實驗之前人們是無法預知的，但是大量的試驗之后，事件A發(fā)生的頻率就會穩(wěn)定在中的某個常數(shù)附近，因而可用A 的頻率來估計A的概率，這就是利用或然估計必然.例9 為了了解學生的身高狀況，某校以10％的比例對全校700名學生按性別進行抽樣檢查，測得身高的統(tǒng)計表如表112所示.（1）估計該校男生人數(shù)；（2）估計該校身高在170～185之間的概率.表11 男生身高情況統(tǒng)計表身高/cm160～165165～170170～175175～180180～185185～190人數(shù)25141342表12女生身高情況統(tǒng)計表身高/cm150～155155～160160～165165～170170～175175～180人數(shù)1712631解：(1)樣本中男生的人數(shù)為40，由于分層抽樣的比例是10％故可知全校男生人數(shù)為人.（2）由統(tǒng)計表可知，樣本身高在170～185之間的頻率為 所以可估計該校學生身高在170～185之間的概率. 必然回答或然例10 某沿江城市遭遇特大洪水襲擊，江面已經(jīng)開始超出江堤的警戒水位線，若果持續(xù)一天不退有可能導致堤毀城亡，后果不堪設想，如果緊急使用泄洪區(qū)，則幾十千米范圍內(nèi)的居民撤離，莊稼，房屋遭淹，如果一天內(nèi)水位下降小于3cm，就必須引水進入泄洪區(qū).影響水位的因素很復雜，主要有上游流域的降雨量，下游流域的降雨與排澇情況，表1表14列出了基本情況. 表13上游流域降雨量上游降雨量概率增大3不變減小3表14下游流域降雨量下游降雨量概率增大2不變1減小另外，流域幾個大型水庫若全部開閘吸洪，請你做出決策.解：上游水位升高的數(shù)學期望為：.下游水位升高的數(shù)學期望為：.那么使得水位升高的數(shù)學期望為.流域幾個大型水庫若全部開閘吸洪，所以 +（）=3.故可以使得水位下降3cm，所以可以不使用泄洪區(qū).從上面的例子可以看出，對于可能出現(xiàn)的或然現(xiàn)象，利用研究或然問題的必然規(guī)律（數(shù)學期望等）進行了合理的預測.（或然思想解決必然問題）根據(jù)命題的形式來構造出概率模型，再利用概率論的有關概念、性質(zhì)、定理等來解決原命題.例11 求證排列組合恒等式證明：利用常規(guī)的方法證明較為繁瑣，下面利用概率的方法去證明.設 袋中有同樣大小的球個，其中1個黑球，個白球現(xiàn)從袋中隨機取出個球，令 A={取出的個球中有黑球}，則 {取出的個球中無黑球}. ，即 故. 數(shù)學建模思想數(shù)學建模就是利用數(shù)學的語言來描述實際問題，通過設計數(shù)學的方法，利用公理化的數(shù)學系統(tǒng)，使得數(shù)學更有活力.例12 在12點時候，時鐘的分針與時針重合，其他的時間他們互相形成一角度請說明何時它們再次又重合.解：我們知道分針每小時轉(zhuǎn)弧度，所以分針的角速度為那么小時后分針走過的角度為；而時針每12小時轉(zhuǎn)弧度，所以時針的角速度為，那么小時后時針走過的角度為，因此，他們之間的夾角.所以直到時，即在過時，兩針再次重合.數(shù)學思想是人腦對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的本質(zhì)反映，是思維加工的產(chǎn)物，，要深入鉆研教材，將數(shù)學思想滲透到教學的各個環(huán)節(jié)中，使學生的數(shù)學思維更開闊，為其今后的學習做好鋪墊. 第二章 中學常用的數(shù)學方法所謂方法，是指人們?yōu)榱诉_到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式．人們通過長期的實踐，發(fā)現(xiàn)了許多運用數(shù)學思想的手段、門路或程序．同一手段、門路或程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，就成為數(shù)學方法．數(shù)學方法即是人們從事數(shù)學活動所用的方法．數(shù)學方法具有以下三個基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即嚴密的邏輯思維性以及結論的確定性；三是普遍的應用性和可操作性．數(shù)學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔精確的形式化語言；二是提供定量分析及計算的方法；三是提供邏輯推理的工具． 數(shù)形結合法數(shù)形結合是一種數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)．通過“數(shù)”與“形”之間的對應、轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想．所謂“數(shù)”，就是指數(shù)或式，所謂“形”，就是指圖形或圖像．“數(shù)”與“形”之間互相依存，對應：“數(shù)”是“形”的抽象和概括,“形”是“數(shù)”的幾何表現(xiàn)；同時，在一定的條件下，它們又可以互相轉(zhuǎn)化：“數(shù)”借助于圖形的性質(zhì)，可以使許多抽象的概念和數(shù)量關系直接化、形象化、簡單化，而“形”的問題經(jīng)過數(shù)量化處理，并借助于計算，可以使較深的問題歸結為較容易處理的數(shù)量關系來研究． 恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關系與空間形式的科學．”數(shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，是數(shù)量關系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決．“數(shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一．華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休”．數(shù)形結合法，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化．在運用數(shù)形結合分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍．y 圖21 的函數(shù)圖像例13 如圖21，函數(shù)的圖像是以原點為圓心，1為半徑的兩段圓弧，求不等式的解集？1解：由圖像可得：為奇函數(shù)，x11則不等式可化為 且1因為 的圖像是以原點為圓心，1為半徑的兩段圓弧，那么可知： 方程的解為. 由此可知的解集為. 構造法所謂構造法，就是根據(jù)題設的特點，用已知條件中的元素作為“元件”，用已知的關系式為“支架”，在思維中構造一種新的數(shù)學形式，如方程、函數(shù)、圖形、抽屜等，以找到一條繞過障礙的新途徑，從