【文章內(nèi)容簡介】 機器發(fā)生某一故障 時 ,其合格率為 30%, 每天早晨機器開動時機器調(diào)整 良好的概率為 75%, 試求已知某日早上第一件產(chǎn)品 是合格品時 , 機器調(diào)整得良好的概率是多少 ? 解 : A表事件“產(chǎn)品合格” , B為“機器調(diào)整良好” , ：,)()(,)|(,|公式得由由已知B a y e sBPBPBAPB ）， P （ A????)()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABP??=(?)/( ?+ ?) =. 167。 獨立性 條件概率 .P ( A )P ( A B )A)|P ( B ?一般地 , P(B|A)≠P(B). 但當 A的發(fā)生對 B的發(fā)生沒有影響時 ,有 P(B|A)=P(B), 由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B). 例 1 設袋中有 a只紅球和 b只白球 (b≠0),今從袋 中取兩次球 ,每次各取一球 ,分為放回和不放回 兩種情況 . 記 : A,B分別表示“第一，二次取得的是紅球” , 2. 有放回時 : P ( B ) ,ba a)|( ???ABPP ( B ) ,1ba 1aA)|P ( B ????? ba a1. 不放回時 : P ( A ) P ( B ) .P ( A B ) ?即定義 1: 設 A,B是兩事件 ,如果滿足等式 P(AB)=P(A)P(B), 則稱 事件 A與事件 B是相互獨立的事件 . 注 ：必然事件 ?和不可能事件 ?與任何事 件 A都獨立 定理 ：如果事件 A,B相互獨立，且 P(B)0,則 P(A|B)=P(A) 證： 由條件概率及上式定義得 ).()()()()()()|( APBPBPAPBPABPBAP ???.BA B,A ,B,B A,也相互獨立與與與則相互獨立獨立擴張定理：若 AAAB , ABABA )1(: ?? 且證明 ??? )BP ( A P ( A B )P ( A ) ?P ( A ) P ( B )P ( A ) ??P ( B ) )P ( A ) ( 1 ?).BP ( A ) P (?.BA 相互獨立與故例 2 甲、乙兩射手向同一目標各射擊一次 ,甲 擊中目標的概率為 ，乙擊中目標的概率為 ，求在一次射擊中目標被擊中的概率。 解： A—甲擊中目標， B—乙擊中目標， C—目標被擊中 ,這里認為事件 A,B獨立 ,則 )()()( )()(ABPBPAPBAPCP???? ?)()()()(???????? BPAPBPAP定義 2: 設 A,B,C是三個事件 ,若滿足 : P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 則稱 A,B,C為相互獨立的事件 . 定義 3：對 n個事件 A1,A2,…,A n,如果對所有可 能的組合 1≤ijk…≤n 成立著 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) ? P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2)…P(A n), 則稱這 n個事件 A1,A2,…,A n相互獨立 . 定義 4：設 A1, A2, …, A n是 n個事件，如果對 任意的 1≤ij ≤ n有 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), 則 稱這 n個事件 兩兩獨立 . 注 ： 若 n個事件相互獨立，必蘊含這 n個事 件兩兩相互獨立 . 反之不成立。 例 3 一均勻正四面體 , 其一、二、三面分別染 成紅白黑三色 , 第四面染上紅白黑三色 .現(xiàn)以分 別 A,B,C記投擲一次四面體出現(xiàn)紅白黑顏色的 事件 , 則由于四面體中有兩面有紅色 , 因此 P(A)=1/2 但是 P(ABC)=1/4?1/8=P(A)P(B)P(C) A,B,C不是相互獨立的 . 同理 P(B)=P(C)=1/2,容易算出 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4 所以 A,B,C兩兩獨立 . 例 4 假若每個人血清中有肝炎病毒的概率為 %,混合 100個人的血清，求此血清中含有 肝炎病毒的概率 . 解：以 Ai(i=1,2,…100) 記“第 i個人的血清含有 肝炎病毒” ,顯然 Ai相互獨立的 .所求概率為 )(1)( 100211001 AAAPAAP ???? ??雖然每個人血清中有病毒的概率很小 ,但是多 個人的血清混合后有病毒的概率很大 . 9 )()(1 1001001 ????? APAP ?例 5 設有 4個元件 ,每個元件的可靠性均為 p(元 件能正常工作的概率 ), 按如下兩種方式組成系 統(tǒng) , 試比較兩個系統(tǒng)的可靠性 . 系統(tǒng)二 :先并聯(lián)后串聯(lián) 系統(tǒng)一 :先串聯(lián)后并聯(lián) 解 : 用 Ai, Bi, 表示如圖中諸元件能正常工作 的事件 , i=1, 2. C1, C2表示系統(tǒng) 1,2正常工作 . C1=(A1A2)∪ (B1B2) C2=(A1∪ B1) (A2∪ B2) 于是 P(C1)=P(A1A2)+P(B1B2)P(A1A2B1B2) =p2+p2p4=p2(2p2), P(C2)=P(A1∪ B1)P (A2∪ B2) =(p+pp2 )2=p2(2p)2, 練習 1 某高射炮打飛機命中率為 , 為了以 99%以上的概率命中目標，應配備多少門大炮？ ).(.16/9)(,0)(,2/1)()()( .1APCBAPABCPCBACPBPAP求兩兩獨立，且???????)./(,6/1)/(,3/1)()(.2 BAPBAPBPAP 求設 ???3. 袋子中有編號 110十個球，從中任取一個若不是 “ 2”號球則放回，若是不放回。然后從袋子中任取 一球，則取到” 1”號球的概率是多少？ 4. 甲乙丙三個班級學生數(shù)分別為 20， 25， 30，其中 女生數(shù)為 7， 5， 9. 任選一個班級，從中抽出一名學 生，若抽得一名女生則她屬于甲班的概率是多少？ 練習 作 業(yè) 習題１： 3(3)(4)， 5， 7， 9， 13， 21， 27, 32, 33, 43， 45. 第二章 隨機變量及其分布 167。 隨機變量的概念 例 1 從一批產(chǎn)品中任意抽取 k件 ,觀察出現(xiàn)的 “廢品數(shù)” X1,依試驗結果不同 X1的所有可能 取值為 :0,1,2,…, +1個結果可用 (X1=j)表示 . 例 2 記錄某接待站一天中來訪的人數(shù) X2, “接待 k個人”可用 (X2=k)表示 . 例 4 擲一枚硬幣觀察正反面 .試驗結果為 : ?1={正面 }, ?２ ={反面 }.試驗的結果可以用 變量 X4 表示． ???????2144 ,0,1)(????當當ωXX例 3 測試電子元件壽命的試驗中 ,“元件壽命 為 t小時”可以用 (X3=t) 來表示 . 定義２ .1 如果對于樣本空間中每個樣本點 ? ，都有唯一的一個實數(shù) X(?)與之對應，則稱 X(?)為 隨機變量 ．簡記 X(?)為 X. “廢品數(shù)大于 10”可用 (X１ 10)表示， “元件壽命在 100到 200 小時之間表示為 (100X3?200) 隨機變量分類： (1) 離散型， (2)連續(xù)型 . 167。 隨機變量的分布函數(shù) 定義 ： X是一隨機變量 , 對任意 x?R, 函數(shù) F(x)=P{ X≤x } 稱為 X的 分布函數(shù) . P{ x1X≤x2}=P{X≤x2} P{X ≤x1} =F(x2)F(x1) . 2. 性質(zhì) : (1) F(x)是單調(diào)不減函數(shù) .(單調(diào)性 ) ?x2x1, F(x2)F(x1)?0. (2) 0≤F(x)≤1 且 (規(guī)范性 ) (3) F(x)至多有可列個間斷點 , 而在其間斷點 x0處是右連續(xù)的 , 1)x(l i m)( ,0)x(l i m)( xx ???????? ?????? FFFF)x()0x()x(lim 00x 0FFFx?????(右連續(xù)性 ) ).3(),3()(21)( 10??? ???XPXPXxFxFxnn是對應的隨機變量，求若是分布函數(shù)。，說明已知例8721)3()3(30???? ??? nnFXP解41 211 )03(1)3(21?????????nnFXP167。 離散型隨機變量的概率分布 1. 定義 若隨機變量全部可能取值是有限或 可列無窮多 , 則稱為 離散型隨機變量 . ,...)3,2,1: 2.?(kxXk值為所有可能取設離散型隨機變量分布律( 1 ) 1 , 2 , . . . ??? , kp)xP ( X kk則稱 (1)式為離散型變量的 分布律。 分布律的性質(zhì)： .1 ( 2 ) , . . .210 ( 1 )1??????kkkp, kp或列表 例 1. 設一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過 四盞信號燈 ,每盞信號燈以概率 p禁止汽車通 過 , 以 X表示汽車首次停下時已通過信號燈的 盞數(shù) , 求 X的分布律。 (設各信號燈的工作是相 互獨立的 )。 解 : X 0 1 2 3 4 pk 即 P{X=k}=(1p)kp, k=0,1,2,3. (1p)p (1p)2p (1p)3p (1p)4 P{X=4}=(1p)4 p .),2,1,0(31)(X 2ankaCkXP kknn試確定常數(shù)的分布律為設例??????? ?? ????nknkkknn aCkXP0 0 31)(1 : 由分布律的性質(zhì)可得解.2 ?a故????nkknkknaC0)31()3( na )313( ??若離散型隨機變量 X的分布律為 ),1 , 2( )( ???? kpxXP kk則 X的分布函數(shù)為 ?????????xxxxk)x( ))x(()x()x(kkXPXPXPFk????xx k)x( kpF即例 3. 離散型 ., 已知分布律求其分布函數(shù) . X 1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求： X的分布函數(shù) , 并求 P{ X≤1/2}, P{3/2X≤5/2}. ?????? }{)( xXPxF ??1x ,0 ??2x1 ,4/1 ???3x2 ,4/32/14/1 ????3x ,14/12/14/1 ????P{X ≤1/2} =F(1/2) P{X≤1/2}=P{X=1}=1/4, =1/4 或由分布律 直接得 P{3/2X≤5/2} =F(5/2)F(3/2)=1/2. ： (一 ) 01分布 設隨機變量 X只可能取 0和 1兩個數(shù)值，其分 布為 P(X=1)=p, P(X=0)=1p. 其中 0p1, 則稱 X服從 (01)分布。 設 A是隨機事件， P(A)=p(0p1),記 ????發(fā)生發(fā)生A AX 0 1 , 則 X服從 (01)分布 . 試驗。這樣的試驗稱為貝努利且與只有兩個可能結果設試驗定義 ,)10( )( , :??? ppAPAAE(二 ) 二項分布 將試驗 E獨立重復地進行 n次得到的試驗序列