【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 布 定義 :若隨機(jī)變量 X的概率密度為 則稱 X服從區(qū)間 上的均勻分布 ,簡(jiǎn)記為 其分布函數(shù)為 : [ , ]ab????? ????其他,0,1)( bxaabxf[ , ]X a b0()1xaFxba?? ??? ?????xaa x bxb????直觀圖形 幾何圖形 如圖 f(x) 0 x a b 1ba?F(x) 0 a b x 另有計(jì)算公式 另有公式 如果 是 的一個(gè)子區(qū)間（即 ）， 則有 上式表明 X在 任一子區(qū)間取值的概率與區(qū)間 的長(zhǎng)度成正比，而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)，也就是 說(shuō)， X在區(qū)間 上的概率分布是均勻的，因此 叫做均勻分布 . 使用這一公式計(jì)算均勻分布的概率很方便 . ],[ dc ],[ ba bdca ???11( ) ( ) ( )ddccP c X d f x d x d x d cb a b a? ? ? ? ? ?????],[ ba],[ ba引例 返回 指數(shù)分布 定義 :若隨機(jī)變量 X的概率密度為 其中 為常數(shù) ,則稱 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分 布 .簡(jiǎn)記為 其分布函數(shù)為 ,0()0 , 0xexfx x?? ?? ?? ? ??0? ? ?1()0xeFx??? ?? ??00xx??指數(shù)分布有著廣泛的應(yīng)用，常用來(lái)做各種 “ 壽命 ” 分布的近似，例如動(dòng)物的壽命，電話的通話時(shí)間，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等，都通常假定服從指數(shù)分布 . )(~ ?EX引例 返回 3。正態(tài)分布 定義 :若隨機(jī)變量 X的概率密度為 其中 為常數(shù)且 ，則稱 X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記作 . 正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像稱為正態(tài)曲線 )(2 1)( 222)(?????????xexfx??????, 0?? 2,??),(~ 2??NX幾何圖形 幾何圖形 如圖 f(x) x 0 a?? ? a??圖形特點(diǎn)及正態(tài)分布曲線的性質(zhì) (1)曲線關(guān)于 對(duì)稱 (2)當(dāng) 時(shí)，取到最大值 (3)參數(shù) 決定正態(tài)曲線的形狀， 較大曲線扁平， 較小曲線狹高 . ??x??x ??21)( ?xf???分布函數(shù) 分布函數(shù) 設(shè) ，則 X的分布函數(shù)為 特別地，當(dāng) 時(shí)的正態(tài)分布 ，稱為標(biāo) 準(zhǔn)的正態(tài)分布。 其密度函數(shù)為 其分布函數(shù)為 dtexF xt? ????? 222)(21)( ????),(~ 2??NX1,0 ?? ?? )1,0(N)(21)( 22??????? ? xex x??dtedttfxXPx x tx ?? ?? ??? ????? 2221)()()(?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形 如圖 )(x?x0 a? a圖形關(guān)于 軸對(duì)稱，且在 取得最大值 y 0?x?21標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) 的性質(zhì) (1) (2) )(x?)(1)( xx ?????21)0( ?? 計(jì)算公式 計(jì)算公式 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的值可以直接查表得。 一般的正態(tài)分布函數(shù) 與標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布函數(shù) 的關(guān)系，設(shè) )(1)(1)(),()()()()(aaXPaXPabaXPbXPbXaP?????????????????引例 )(xF)(x?)(}{)( ? ?????? xxXPxF),(~ 2??NX)()(}{}{}{ ? ?? ? ???????????? abaXPbXPbXaP)(1}{ ? ?????? aaXP 引例 分位數(shù)（臨界值） 定義 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值記為 ， 滿足 則稱點(diǎn) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)（或臨界 值） 由 ， 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求 . ?u?u??? ????? )(1)( uXPuXP?u??? ????? 1)()( uuXP?u引例 返回 167。 練習(xí)題 （ 1） 練習(xí)題 （ 2） 返回 設(shè) g(x)是一給定的連續(xù)函數(shù) ,稱 為隨機(jī)變 量 X的一個(gè)函數(shù) ,顯然 Y也是一個(gè)隨機(jī)變量 .當(dāng) X取 值 x時(shí) ,Y取值 y=g(x). 重點(diǎn)在于討論如何由已知的隨機(jī)變量 X的概率分 布 ,去求函數(shù) 的概率分布 . ()Y g X?()Y g X?引例 結(jié)論 結(jié)論 離散型隨機(jī)變量 X的取值可列 ,則 Y的 取值也是可列的 ,因此 Y也是 個(gè)離散型隨機(jī)變量 .但是 中可 能有相等的情況 . 當(dāng) 有相等的情況時(shí) ,應(yīng)把 相等的那些 所對(duì)應(yīng)的概率相加 ,作為 Y取值 的概率 . 12, , ,kx x x12( ) , ( ) , ( ) ,kg x g x g x12( ) , ( ) , ( ) ,kg x g x g x12( ) , ( ) , ( ) ,kg x g x g x ()kgxix()kgx注：在最后所得分布律，按 Y的各取值的自然順序重新排列一下 返回 設(shè) X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 設(shè) 是一嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)? 且 。記 為 的反函數(shù)，則 的概率密度 特別地，當(dāng) 時(shí) )(xfX)(xg ],[ ??0)(39。 ?xg )(yhx ? )(xgy ? )(XgY ?????0|)(39。|))(()( yhyhfyf XY 其他?? ?? y?????? ?? ,|)(39。|))(()( yhyhfyf XY ? ?????? y引例 返回 第三章 :多維隨機(jī)變量及其概率分布 167。 167。 167。 自測(cè)題 3 返回 167。 1。二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 2。二維離散型隨機(jī)變量 練習(xí)題 （ 1） 3。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度和邊緣概率密度 練習(xí)題 （ 2） 返回 1。二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 定義 n個(gè)隨機(jī)變量 ，構(gòu)成的整體 稱為一個(gè) n維隨機(jī)變量或 n維隨機(jī) 向量， 稱為 X的第 i個(gè)分量。 定義 設(shè) 為一個(gè)二維隨機(jī)變量，記 稱二元函數(shù) 為 X與 Y的聯(lián)合分布函數(shù)或稱為 的分布函數(shù)。 nXXX ?, 21),( 21 nXXXX ??iXni ,2,1 ??),( YX},{),( yYxXPyxF ??? ?????? x ?????? y),( yxF),( YX續(xù) （續(xù)）二維隨機(jī)變量 的兩個(gè)分量 X與 Y各自的分布函數(shù)分別稱為 二維隨機(jī)變量 關(guān)于 X與關(guān)于 Y的邊緣分布函 數(shù)，記為 與 。 邊緣分布函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系。 ),( YX),( YX)(xFX )(yFY),(},{}{)( ?????????? xFYxXPxXPxF X),(lim yxFy ????),(},{}{)( yFyYXPyYPyF Y ??????????),(lim yxFx ???? 幾何圖形 幾何圖形 如圖 x y o ),( yxD D為分布函數(shù) 在 處的函數(shù)值 ),( yxF),( yxD為以 為頂點(diǎn)，位于該點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形 ),( yxx y 0 ),( 11 yx),( 21 yx),( 22 yx),( 12 yx1y1x2y2x矩形域?yàn)槁湓趨^(qū)域 內(nèi)的概率。 },{ 2121 yYyxXx ????計(jì)算公式 計(jì)算公式 落在矩形域內(nèi)概率為 分布函數(shù) 的性質(zhì) (1) 是變量 x或 y的不減函數(shù) (2) (3) 關(guān)于 x和關(guān)于 y均右連續(xù) (4)對(duì)任意固定的 ， 有 ),(),(),(),(},{ 112112222121 yxFyxFyxFyxFyYyxXxP ????????),( yxF),( yxF1),(0 ?? yxF),( yxF21 xx ? 21 yy ?0),(),(),(),( 11211222 ???? yxFyxFyxFyxF返回 2。二維離散型隨機(jī)變量 定義 若二維隨機(jī)變量 只取有限多對(duì)或可列 無(wú)窮多對(duì) ，則稱 為二維 離散隨機(jī)變量。 設(shè)二維隨機(jī)變量 的所有可能取值為 ， 在各個(gè)可能取值的概率為： ),( YX),( ji yx ?,2,1, ?ji ),( YX),( YX ),( ji yx?,2,1, ?ji ),( YXijji pyYxXP ??? },{ ?,2,1, ?ji分布律 性質(zhì) 性質(zhì) 的分布律具有下列性質(zhì)： (1) (2) 由 的分布律可求得它的分布數(shù) ， ),( YX0?ijp ?,2,1, ?ji1?? ? iji jp引例 ),( YX ),( yxF? ?? ????xx yyiji jpyYxXPyxF },{),( ＝引例 邊緣分布律 邊緣分布律 定義 對(duì)于離散型隨機(jī)變量（ X,Y），分量 X或 Y 的分布律稱為（ X,Y）關(guān)于 X或 Y的邊緣分布 律，記為 或 可由（ X,Y）的分布律求出。 ip 1, 2, 3i ? jp1, 2, 3j ?{}i i ijjp P X x p? ? ? ? 1, 2 , 3i ? {}j j ijip P Y y p? ? ? ?1, 2 , 3j ?性質(zhì) 性質(zhì) 邊緣分布律具有下列性質(zhì)： （ 1） （ 2） 0jp ?0ip ? , 1 , 2 , 3ij ?1ijip ?? 1ijj p ??返回 3。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度和邊緣概率密度 定義：設(shè)二維隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 若存在非負(fù)可積函數(shù)為 ，使得對(duì)于任意 的實(shí)數(shù) x,y都有 則稱 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱 為 的概率密度函數(shù)或 X與 Y的聯(lián)合密度函 數(shù)。 ( , )XY ( , )F x y( , )f x y( , ) ( , )xyF x y f u v d u d v? ? ? ?? ??( , )XY ( , )f x y( , )XY性質(zhì) 性質(zhì) 按定義：概率密度函數(shù) 有以下性質(zhì)： （ 1） （ 2） ( , )f x y( , ) 0f x y ?( , ) 1f x y d x d y? ? ? ?? ? ? ? ???分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系 若 在 處連續(xù)，則有 ( , )f x y ( , )xy2 ( , )( , )F x y f x yxy? ???概率計(jì)算公式 概率計(jì)算公式 如果已知 的概率密度 ，則 在平面區(qū)域 D內(nèi)取值的概率為： ( , )XY ( , )f x y ( , )XY{( , ) } ( , )DP X Y D f x y d x d y?? ??幾何意義：隨機(jī)點(diǎn) 落在平面區(qū)域 D上的概率等于以平面區(qū)域 D為底，以曲面 為頂?shù)那斨w的體積。 ( , )XY( , )z f x y?引例 兩種重要的分布 兩種重要的分布 1。均勻分布